2017年广东省汕头市高三理科二模数学试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 设全集为 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合是
A. C.
B. D.
2. 设 是虚数单位，若复数
A.
是纯虚数，则 的值为
C.
B.
D.
3. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序是
A.
B.
C.
D.
4. 小明有中国古代四大名著：《三国演义》，《西游记》，《水浒传》，《红楼梦》各一本，他要将这四本书全部借给三位同学，每位同学至少一本，但《西游记》，《红楼梦》这两本书不能借给同一人，则不同的借法有
A. 种
B. 种 C. 种
D. 种
5. 函数 的图象与函数 的图象
A. 有相同的对称轴但无相同的对称中心 B. 有相同的对称中心但无相同的对称轴 C. 既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D. 既无相同的对称中心也无相同的对称轴 6. 已知双曲线
的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的渐近线
上，若 ，则此双曲线的方程为
A.
B.
C.
D.
7. 已知等差数列 的前 项和为 ，设 ， ， 为坐标平面上三点， 为 与 在向量 方向上的投影相同，则 为 坐标原点，若向量 A.
B.
C.
D.
8. 设 ， 满足约束条件 若目标函数 的最大值是 ，则
的最小值是 A.
B.
C.
D.
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9. 若
，则
B.
A. 为
C.
D.
10. 执行如图所示的程序框图，如果随机输入的 ，则事件“输出的 ”发生的概率
A.
B.
C.
D.
11. 如图，在正方体 中，点 为线段 的中点，设点 在线段 上，直线
与平面 所成的角为 ，则 的取值范围为
A. 值为
A. B.
二、填空题（共4小题；共20分）
B.
C.
D.
12. 已知函数 ，若 ，且 对任意的 恒成立，则 的最大
C.
D.
13. 一个不透明的袋子中装有大小相同的 个黑球， 个白球，每次有放回的任意摸取一个球，共
摸取 次，若用 表示取到白球的次数，则 的数学期望 与方差 分别为______． 14. 设 ，且 ，若 能被 整除，则 ______．
15. 已知数列 的前 项和为 ， ， ， ，则 ______．
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16. 如图，在 中， ，点 在边 上， ，且 ， ，则
______．
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令
，求数列 的前 项和 ．
18. 甲、乙两家外卖公司，其单个送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪 元，每单提成 元；乙
公司无底薪， 单以内（含 单）的部分每单提成 元，超出 单的部分每单提成 元．假设同一公司的送餐员同一天的送餐单数相同，现从两家公司各抽取一名送餐员，分别记录其 天的送餐单数，得到如下频数分布表：
甲公司被选取送餐员送餐单数频数分布表 送餐单数 天数 乙公司被选取送餐员送餐单数频数分布表 送餐单数 天数 将其频率作为概率，请回答以下问题：
（1）若记乙公司单个送餐员日工资为 元，求 的分布列和数学期望；
（2）小明将要去其中一家公司应聘送餐员，若甲公司承诺根据每位送餐员的表现，每个季度将
会增加 元至 元不等的奖金，如果每年按 个工作日计算，请利用所学的统计学知识为他作出选择，去哪一家公司的经济收入可能会多一些?
19. 如图，在正三棱柱 中， ， ， 为 的中点．
（1）若 ，请画出该正三棱柱的正（主）视图与左（侧）视图； （2）求证：平面 平面 ；
（3）当平面 与平面 所成的锐二面角为 时，求该正三棱柱外接球的体积．
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