第4章 向量代数与空间解析几何习题解答
习题4.1
一、计算题与证明题
1．已知|a|?1, |b|?4, |c|?5, 并且a?b?c?0． 计算a?b?b?c?c?a． 解：因为|a|?1, |b|?4, |c|?5, 并且a?b?c?0 所以a与b同向，且a?b与c反向 因此a?b?0，b?c?0，c?a?0 所以a?b?b?c?c?a?0
2．已知|a?b|?3, |a?b|?4, 求|a|?|b|． 解：|a?b|?a?bcos??3 （1）
|a?b|?a?bsin??4 （2）
2(1)2??2?得?a?b??25
2所以 a?b?5
3．设力F??2i?3j?5k作用在点A(3,6,1), 求力F对点B(,1,7,?2)的力矩的大小． 解：因为A?3,6,1?,B?1,7,?2? 所以AB???2,1?3?
力矩M?AB?F???2i?j?3k????2i?3j?5k?
1?3?2?3?21??21?3?i?j?k 35?25?23
?235?14i?16j?4k所以，力矩的大小为
ijkM?142?162???4??613
24．已知向量x与a(,1,5,?2)共线, 且满足a?x?3, 求向量x的坐标． 解：设x的坐标为?x,y,z?，又a??1,5,?2?
则a?x?x?5y?2z?3 （1）
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又x与a共线，则x?a?0 即
yzxyxyxyz?i?j?k5?21?215
15?2???2y?5z?i??z?2x?j??5x?y?k?0所以
ijk??2y?5z?2??z?2x?2??5x?y?2?0
即29x2?5y2?26z2?20yz?4xz?10xy?0 （2） 又x与a共线，x与a夹角为0或?
cos0?1?x?ax?y?z?1?5???2?222222222?3x?y?z?30222
整理得 x?y?z?3 （3） 10联立?1?、?2?、?3?解出向量x的坐标为??111?,,?? ?1025?5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平 分, 则该四边形为平行四边形．
证明：如图所示，因为平行四边形ABCD的对角线 互相平分，则有
BM?ND,CN?MA
由矢量合成的三角形法则有BA?BM?MA
CD?CM?MD?MA?BM?BM?MA
所以BA?CD
即BA平行且等于CD
四边形ABCD是平行四边形
6．已知点A(3,8,7), B(?1,2,?3)求线段AB的中垂面的方程． 解：因为A?3,8,7?,B(?1,2,?3)
AB中垂面上的点到A、B的距离相等，设动点坐标为M?x,y,z?，则由MA?MB得
?x?3?2??y?8?2??z?7?2化简得2x?3y?5z?27?0
??x?1?2??y?2?2??z?3?2
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这就是线段AB的中垂面的方程。
7．向量a, b, c具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a, b的坐标分别为
,1,0)和(0,1,1), 求向量c的坐标．
解：a?b?c?r且它们两两所成的角相等，设为? 则有a?b?1?0?1?1?0?1?1 则cos??a?b1a?b?r2 设向量c的坐标为?x,y,z?
则a?c?1?x?1?y?0?z?x?y?a?bcos??r?r?1r2?1 b?c?0?x?1?y?1?z?y?z?b?ccos??r?r?1r2?1 c?x2?y2?z2?r?12?12?02?2
所以x2?y2?z2?2 （3）
?x??1?x?1??3联立（1）、（2）、(3)求出??y?0或??y?4
??z?1?3???z??13所以向量c的坐标为?1,0,1?或???1,4,?1???333?
8．已知点A(3,6,1), B(2,?4,1), C(0,?2,3), D(?2,0,?3)， (1)
求以AB, AC, AD为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥A?BCD的体积． (3) 求?BCD的面积．
(4) 求点A到平面BCD的距离．
解：因为A?3，0，1?，B?2,?4,1?,C?0,?2,3?,D??2,0,?3? 所以AB???1,?10,0?
AC???3,?8,2? AD???5,?6,?4?
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