第二章习题及答案
2-1 试建立题2-1图所示各系统的微分方程 [其中外力F(t),位移x(t)和电压ur(t)为输入量;位移y(t)和电压uc(t)为输出量;k(弹性系数),f(阻尼系数),R(电阻),C(电容)和m(质量)均为常数]。
解
(a)以平衡状态为基点,对质块m进行受力分析(不再考虑重力影响),如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出
dyd2y?m2 F(t)?ky(t)?fdtdt 整理得
d2y(t)fdy(t)k1??y(t)?F(t) 2mdtmmdt
(b)如图解2-1(b)所示,取A,B两点分别进行受力分析。对A点有 k1(x?x1)?f(对B点有 f(dx1dy?) (1) dtdtdx1dy?)?k2y (2) dtdt联立式(1)、(2)可得:
k1k2k1dxdy ?y?dtf(k1?k2)k1?k2dt(c) 应用复数阻抗概念可写出
1csI(s)?U(s) (3) Ur(s)?c1R1?csR1 10
Uc(s) (4) R2U(s)R2(1?R1Cs)联立式(3)、(4),可解得: c ?Ur(s)R1?R2?R1R2CsduR?R2du1微分方程为: c?1uc?r?ur
dtCR1R2dtCR1I(s)? (d) 由图解2-1(d)可写出
Ur(s)?RIR(s)??IR(s)?Ic(s)?1 (5) Cs1?RIR(s)?RIc(s) (6) Cs1Uc(s)?Ic(s)R??IR(s)?Ic(s)? (7)
Cs联立式(5)、(6)、(7),消去中间变量IC(s)和
Ic(s) IR(s),可得:
Uc(s)R2C2s2?2RCs?1 ?222Ur(s)RCs?3RCs?1duc2dur23duc12dur1微分方程为 2??22uc?2??22ur
dtCRdtCRdtCRdtCR2-2 试证明题2-2图中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统(即有相同形式的数学模型)。
解
(a) 取A、B两点分别进行受力分析,如图
解2-2(a)所示。对A点有
??y?)?f1(y??y?1) (1) k2(x?y)?f2(x对B点有
??y?1)?k1y1 (2) f1(y
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对式(1)、(2)分别取拉氏变换,消去中间变量y1,整理后得
f1f22ffs?(1?2)s?1k1k2k1k2Y(s) =
fffffX(s)12s2?(1?2?1)s?1k1k2k1k2k2(b) 由图可写出
Uc(s) = 1R2?C2sUr(s)1R1?C1s1R2??1C1sR1?C1s
整理得
Uc(s)R1R2C1C2s2?(R1C1?R2C2)s?1 = 2Ur(s)R1R2C1C2s?(R1C1?R2C2?R1C2)s?1
2-3 假设某容器的液位高度h与液体流入量Qr满足方程
dh??dtSh?1Qr, S式中S为液位容器的横截面积,?为常数。若h与Qr在其工作点(Qr0,h0)附近做微量变化,试导出?h关于?Qr的线性化方程。
解 将h在h0处展开为泰勒级数并取一次近似
h?h0?代入原方程可得
dh1|h0??h?h0???h (1) dt2h0d(h0??h)?11?(h0???h)?(Qr0??Qr) (2)
dtSS2h0在平衡工作点处系统满足
dh0??h0?Qr0 (3) dt式(2),(3)相减可得?h的线性化方程 Sd?h???h??Qr dt2h02-4 试求题2-3图所示各信号x(t)的象函数X(s)。
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