山东科技大学概率论卓相来岳嵘第六章习题解答
习题六
1. 设总体X～N(?,6),从中抽取容量为25的一个样本,求样本方差S小于9.1的概率. 解 X～N(?,6),由?～?(n?1),于是
2
(n?1)S222?(n?1)S2?25?1??9.1?22P?S?9.1??P????p???24??36.4??1?p???24??36.4?66??2?1?0.05?0.95.12
2102. 设X,X,L,X是取自正态总体N(0,0.3)的样本,试求
?102?P??Xi?1.44??i?1?.
?u?2解：由
??Xi?1ni?2～?(n)，于是
2?102?X?i?1.44??102??i?1?2P??Xi?1.44??P???P??10??16??0.1.??22?i?1??0.3????0.3?????12n
3. 设总体X～N(a,4),X,X,?,X是取自总体X的一个
样本,X为样本均值,试问样本容量n分别为多大时,才能使以下各式成立， ?1?E?X?a??0.1;?2?E?X?a??0.1;2?3?P{X?a?1}?0.95.
解 （1） 因为～
X4N(a,),n所以
X?a4n～N(0,1),从而
?X?a?4n2～?2(1),于是
2??X?a2??4E??1,EX?a??0.1,所以n?40.?4n???n?
（2）因为X?a～N(0,1),所以
4n???X?a?????xE??4?????n??21?x22edx?2?2???0xe?x22?2dx?2???0e?x22?x2?2d????,2??2?
所以?2EX?a?2??422??0.1,nn?从而
n?800??254.7,故n?255.
（3） 因为
???????n?1?X?a1??X?a??1?PX?a?1?P??????P????2???2???1?0.95,44444????????n?nnn??n?????
所以????n?n?0.975,而?1.96=0.975，从而?1.96，n?15.37,故n?16.????22??2
4. 已知总体X～N(10,?),?为未知,X,X,X,X总体X的
一个样本,X、S分别为样本均值和样本方差 （1）构造一个关于X的统计量Y,使得Y~t(3);
12342（2）设s?1.92,求使P{???X?10??}?0.95的?. 解 （1）
X?10?2～N?0,1?n?1?S2?,～?2?2?n?1?,3S2?2～?2?3?,
?X?10???????2X?10Y??2????3S2??S??2?3?????????～t?3?.??
（2） 所以t??2?2X?102????P{???X?10??}?P?????1?2t2??n?1??0.95,SSSS??????
2??n?1??0.025,n?4,S2??3.1824,S?1.92,??3.0551.S
5. 为了估计总体均值,抽取足够大的样本,以95%的概率使样本均值偏离总体均值不超过总体标准差?的25%,试求样本容量. 解
?X?u??X?u?nX?u?n?n??????PX?u?0.25??P??0.25??P???P???????444?n?n???????????????n??n?n?2???1?95%,所以??0.975,?1.96,n?61.4656,所以样本容量n?62.????4??4?4????6. 从总体X～N(12,2)中抽取容量为5的样本X,X,?,X，试求
2125(1) 样本的极小值小于10的概率; (2) 样本的极大值大于15的概率.
解 （1） P?min?X,X,L,X??10??1?P?min?X,X,L,X??10?
125125??X?1210?12???1??P?Xi?10??1???1?P?i??22???i?1i?1???1????1????1????0.5785.i?1555
25125（2） P?max?X,X,L,X??15??1?P?max?X,X,L,X??15?
15??Xi?1215?12??5?1???P???1.5?1?0.9332?0.2923.?????????1?????22??i?1??i?15
7. 从两个正态总体中分别抽取容量为25和20
的两个独立样本,算得样本方差依次为S?62.7，S?25.6,若两总体方差相等,求随机抽取的两个样本的样
2122.7的概率是多少？ 本方差之比大于6225.6S12S22解
S/SS?～F?n1?1,n2?1??F?24,19?，?/?S212122222122所以
?S1262.7??S12?P?2??P?2.45??2??0.025.?S225.6??S2?2
8. 设X,X12,?,Xn是总体X~N(?,?)的一个样本,样本证明
2?4D(S)?n?12方差
1nS?(Xi?X)2,?n?1i?12.
证 因为
(n?1)S2?2~?2(n?1)，而
D(?2(n?1))?2(n?1)，
.
所以
??2(n?1)S2??42?4D(S)?D???2(n?1)???22n?1n?1?(n?1)??2129. 设X,X分别是取自正态总体N(?,?)的容量均为n2的相互独立的两个样本的样本均值，试确定n,使得两个样本均值之差超过?的概率大于0.01. 解
X1～N(u,?2n),X2～N(u,?2X1?X2n),?2n～N(0,1),
???????n?n?n??X1?X2??X1?X2?PX1?X2???P????0.01,???1?P???2?2????222????2???2?????nn??????