第20讲 图形的平移、对称与旋转
【考点导引】
1.理解轴对称、轴对称图形、中心对称、中心对称图形、平移和图形旋转的概念，并掌握它们的性质． 2．能按平移、旋转或对称的要求作出简单的图形． 3．探索成轴对称或中心对称的平面图形的性质． 4．运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计. 【难点突破】
1. 点的坐标在变换中的规律：（1）平移：左右平移时横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移时纵坐标上加下减，横坐标不变；（2）关于坐标轴对称，与其同名的坐标不变，另一个坐标变为相反数；（3）关于原点对称，其坐标互为相反数；（4）点(x，y)关于原点顺时针旋转90°后的点坐标为(y，－x)，点(x，y)关于原点逆时针旋转90°后的点坐标为(－y， x)．注意：研究有关点旋转时点的坐标变化规律时，若旋转方向不明，需分顺时针和逆时针两种情况进行讨论．
2. （1）轴对称图形是指一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形，注意与中心对称图形区分开来，中心对称图形是指一个图形绕某个点旋转180°后能与自身重合的图形．中心对称图形的对称中心是一个点，轴对称图形的对称轴是直线；中心对称图形的对称中心只有一个，而轴对称图形的对称轴可能有多条．一般地，正偶数多边形既是中心对称图形又是轴对称图形，正奇数多边形是轴对称图形但不是中心对称图形，它们的对称轴条数和边数一致．
（2）轴对称图形与轴对称、中心对称图形与中心对称，是不同的概念，不要把它们混淆．
3. 应用轴对称的性质构造全等三角形，揭示图形中隐含的相等线段或相等的角，对于图形中隐含的几个点到某一定点的距离相等，往往构造圆，应用圆的性质解决问题比较简便。
4. 识别中心对称图形的方法是根据概念，将这个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与自身重合，那么这个图形就是中心对称图形，这个点是对称中心．而识别轴对称图形的方法是把一个图形沿着一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形． 【解题策略】
转化思想：有关几条线段之和最短的问题，都是把它们转化到同一条直线上，然后利用“两点之间线段最短”来解决． 【典例精析】
类型一：轴对称图形与中心对称图形的识别
【例1】(2019?云南?4分)下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
类型二：图形的平移
Rt△ABC的直角顶点C的坐标为 0）【例2】（2019?湖北省随州市?3分）如图，在平面直角坐标系中，（1，，
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点A在x轴正半轴上，且AC=2．将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为______．
类型三：图形的对称
【例3】（2019浙江丽水3分）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则
的值
是（ ）A．
B．2﹣1
C．
D．5?2 22 2类型四：图形的旋转
【例4】（2019?湖北省荆门市?3分）如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝3，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，则B点的对应点B′的坐标是（ ）
A．（3，﹣1）
B．（1，﹣3）
C．（2，0）
D．（3，0）
类型五：平移、旋转作图
【例5】（2019?广西北部湾?8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，－1）、B（1，－2）、C（3，－3）.
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1; （2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2; （3）请写出A1、A2的坐标.
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【例题6】(2019?浙江丽水?12分)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝142，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF．
(1)如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O．求证：BD＝2DO． (2)已知点G为AF的中点．
①如图2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的长．
②若AD＝6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由．
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