一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( ) A.汉密尔顿回路 B.欧拉回路 C.汉密尔顿通路 D.初级回路
2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是( ) A.10 B.12 C.16 D.14
3.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( ) A.b∧(a∨c)
B.(a∧b)∨(a’∧b)
C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) D.(b∨c)∧(a∨c) 4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( ) A.<{1},·> B.〈{-1},·〉 C.〈{i},·〉 D.〈{-i},·〉
5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( )
A.〈Z，+，/〉 B.〈Z，/〉 C.〈Z，-，/〉 D.〈P(A)，∩〉 6.下列各代数系统中不含有零元素的是( ) A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算
B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算 C.〈Z，?Z是整数集，?定义为x?xy=xy,?x,y∈Z D.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算
7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下： R具有的性质是 A.自反性 B.对称性 C.传递性 D.反自反性
8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉〈,a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( ) A.R∪IA B.R C.R∪{〈c,a〉} D.R∩IA 9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的等价关系，R应取( ) A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝ B.{〈c,b〉，〈b,a〉} C.{〈c,a〉，〈b,a〉} D.{〈a,c〉，〈c,b〉} 10.下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x A.( ? x)( ?y)( ?z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z)) B.( ?x)A(f(a,x),a) C.(?x)(?y)（A(f(x,y),x)) D.(?x)(?y)(A(x,y)→A(f(x,a),a)) 12.设B是不含变元x的公式，谓词公式(?x)(A(x)→B)等价于( ) A.(?x)A(x)→B B.(?x)A(x)→B C.A(x)→B D.(?x)A(x)→(?x)B 13.谓词公式(?x)(P(x,y))→(?z)Q(x,z)∧(?y)R(x,y)中变元x( ) A.是自由变元但不是约束变元 B.既不是自由变元又不是约束变元 C.既是自由变元又是约束变元 D.是约束变元但不是自由变元 14.若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( ) A.P∨Q B.P∧┐Q C.P→┐Q D.P∨┐Q 15.以下命题公式中，为永假式的是( ) A.p→(p∨q∨r) B.(p→┐p)→┐p C.┐(q→q)∧p D.┐(q∨┐p)→(p∧┐p) 二、填空题(每空1分，共20分) 16.在一棵根树中，仅有一个结点的入度为__0____，称为树根，其余结点的入度均为__1____。 17.A={1,2,3,4}上二元关系R={〈2，4〉，〈3，3〉，〈4，2〉}，R的关系矩阵MR中m24=___1___,m34=___0___。 18.设〈s,*〉是群，则那么s中除__幺元____外，不可能有别的幂等元；若〈s,*〉有零元，则|s|=___1___。 19.设A为集合，P(A)为A的幂集，则〈P(A)，是格，若x,y∈P(A),则x,y最大下界是______，?〉最小上界是______。 20.设函数f:X→Y,如果对X中的任意两个不同的x1和x2，它们的象y1和y2也不同，我们说f是___入射___函数，如果ranf=Y，则称f是___满射___函数。 21.设R为非空集合A上的等价关系，其等价类记为〔x〕R。?x,y∈A，若〈x,y〉∈R，则 〔x〕R与〔y〕R的关系是______，而若〈x,y〉?R，则〔x〕R∩〔y〕R=______。 22.使公式(?x)( ?y)(A(x)∧B(y))?(?x)A(x)∧(?y)B(y)成立的条件是______不含有y，______不含有x。 23.设M(x):x是人，D(s):x是要死的，则命题“所有的人都是要死的”可符号化为(?x)______,其中量词(?x)的辖域是______。 24.若H1∧H2∧…∧Hn是______，则称H1,H2,…Hn是相容的，若H1∧H2∧…∧Hn是______，则称H1,H2,…Hn是不相容的。 25.判断一个语句是否为命题，首先要看它是否为 ，然后再看它是否具有唯一的 。 三、计算题 (共30分) 26.(4分)设有向图G=(V,E)如下图所示，试用邻接矩阵方法求长度为2的路的总数和回路总数。 2 离散数学试卷（一） 27.(5)设A={a,b},P(A)是A的幂集，?是对称差运算，可以验证 (2)令B={1,2,3,5}，求B的最大，最小元，极大、极小元，上界，下确界，下界，下确界。 29.(6分)求┐(P→Q)?(P→┐Q)的主合取范式并给出所有使命题为真的赋值。 30.(5分)设带权无向图G如下，求G的最小生成树T及T的权总和，要求写出解的过程。 31.(4分)求公式┐((?x)F(x,y)→(?y)G(x,y))∨(?x)H(x)的前束范式。 四、证明题 (共20分) 32.(6分)设T是非平凡的无向树，T中度数最大的顶点有2个，它们的度数为k(k≥2),证明T中至少有2k-2片树叶。 33.(8分)设A是非空集合，F是所有从A到A的双射函数的集合，?是函数复合运算。 证明：〈F, ?〉是群。 34.(6分)在个体域D={a1,a2,…，an}中证明等价式： (?x)(A(x)→B(x))?(?x)A(x)→(?x)B(x) 五、应用题(共15分) 35.(9分)如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过DELPHI语言而且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者C++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。请用命题逻辑推理方法，证明该推理的有效结论。 36.(6分)一次学术会议的理事会共有20个人参加，他们之间有的相互认识但有的相互不认识。但对任意两个人，他们各自认识的人的数目之和不小于20。问能否把这20个人排在圆桌旁，使得任意一个人认识其旁边的两个人?根据是什么? 第3页 共7页