§4．10天体的运动与能量
4．10．1、天体运动的机械能守恒
二体系统的机械能E为系统的万有引力势能与各天体的动能之和。仅有一个天体在运动时，则E为系统的万有引力势能与其动能之和。由于没有其他外力作用，系统内万有引力属于保守力，故有机械能守恒，E为一恒量，如图4-10-1所示，设M天体不动，m天体绕M天体转动，则由机械动能守恒，有
E??GMm1?GMm122?mv1???mv2r12r22
当运动天体背离不动天体运动时，EP不断增大，而EK将不断减小，可达无穷远处，此时EP?0而EK≥0，则应满足E≥0，即
?GMm1?mv2?0r2
例如从地球发射人造卫星要挣脱地球束缚必有
?GMm1?mv2?0R2
v1v2r2r1Mv?2GM?2Rg?11.2kmsR 图4-10-1 我们称v=11.2km/s为第二宇宙速度，它恰为第一宇宙速度为2倍。
另外在上面的二体系统中，由于万有引力属于有心力，所以对m而言，遵循角动量守恒
??mv?r?恒量
或 mvr?sin??恒量
?是v与r方向的夹角。它实质可变换得到开普勒第二定律，即行星与恒星连
线在相等时间内扫过面积等。
4．10．2、天体运动的轨道与能量
若M天体固定，m天体在万有引力作用下运动，其圆锥曲线可能是椭圆（包括圆）、抛物线或双曲线。
i）椭圆轨道
如图4-7-1所示，设椭圆轨道方程为
x22a2?yb2?1 （a>b）
则椭圆长，短半轴为a、b，焦距c?a2?b2，近地
点速度v1，远地点速度v2，则有
E?12GMm1GMm2mv21?a?c?2mv2?a?c
mv1(a?c)?mv2(a?c)
或由开普勒第二定律：
1 2v)?11(a?c2v2(a?c)
可解得
???v1?(a?c)GM/(a?c)?a??v2?(a?c)GM/(a?c)?a
代入E得
E??GMm2a?0
ii)抛物线 设抛物线方程为
y?Ax2
yb?aMv1vO(?,0)ax2?b图4-10-2
太阳在其焦点（
0,14A）处，则m在抛物线顶点处能量为
E?1GMm122mv0??mv0?4AGMm122()4A
可以证明抛物线顶点处曲率半径
??112mv0/??GMm/()22A，则有4A得到
v0?8AGM
抛物线轨道能量
1E?m?(8AGM)?4AGM?02
ybcOCD iii）双曲线 设双曲线方程为
xy??122ab
22aF(c,0)x图4-10-3 22焦距c?a?b，太阳位于焦点（C，0），星体m在双曲线正半支上运动。
如图4-10-3所示，其渐近线OE方程为y=bx/a，考虑m在D处与无穷远处关系，有
E?1GMm122mv0??mv?2c?x2
考虑到当r??，运动方向逼近渐近线，焦点与渐近线距FC为
FC?cb/a2?b2?b
故有
11vD(c?a)?v??b22 或 mvD(c?a)?mv??b
联解得