数列应用题
例1、甲、乙两人同一天分别携款1万元到银行储蓄。甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%,乙存一年期定期储蓄,年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄。按规定每次计算利息时，储户须缴纳利息的20%作为利息税。若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得的本息之和的差为多少元？（精确到分）
解.甲:104(1?5?2.88%?0.8) 乙:104(1?2.25%?0.8)5
4 10(1?4 1?52.88?%0.?108(1)?2.25%?0.8)5?219.0答:甲与乙所得的本息之和的差约为219.01.
注:存款问题,关键是搞清楚其中的单利(等差数列)、复利（等比数列）计算方法以及利息税的问题。
例2、(分期还款问题)陈先生买了一套新住宅，总价250万元。首期付款120万元，余款130万元向银行借款。贷款后第一个月末开始还款，每月等额还款一次，分20年还清。假设银行贷款利率在20年中不变化，每月利率1.05%。问陈先生每月应还银行多少元？
解：设陈先生把每个月的还款x万元按时存入一虚拟银行，存款利率即为贷款利率r，20 年后，这些存款的本利总和为： S240?x(1?r)239?x(1?r)238401?(1?r)240(1?r)2?r???x(1?r)?x?x?x
1?(1?r)r这些存款本利总和应该等于陈先生20年欠银行贷款的本利总额130(1?r)240
(1?r)240?1130r(1?r)240240 ??x?130(1?r)?x??x?14861.57
r(1?r)240?1答：陈先生每月因还银行14861.57元.
例3、参加一次国际商贸洽谈会的国际友人，居住在某五星级宾馆的不同楼层内，该大楼共有n层，每层均住有与会人员。现要求每层派一人，共n人集中到第k层开会。问k如何确定，能使n位参加会议人员的上、下楼梯所走的路程的总和最少？
分析:设每两层楼梯的楼梯长度为L,住在m层的人到k层开会走的路程为an 当1??(k?m)L
m?k时,an?(k?m)L;当k?m?n时，am?(m?k)L.
解: 设每两层楼梯的楼梯长度为L,开会人员所走路程为S
S?(1?2???k?1?L)??0?(1??2?n?k?L) [1?k(?1)k]?(1)?n[1?k(n?k)]()
??L??L22?2n2?n? ??k?(n?1)k??L?2??n?1?n2?1 ???k??L(k,n?N)??L?2?4?2n?1时，S最小； 2nn?2当n为偶数时，k=或k?时，S最小.22当n为奇数时，k?注:(1)本题属于等差数列类应用题,要用等差数列的公式来构造;
(2)数列应用题中的最值方法之一转化为二次函数的最值,注意取值范围是自然数.
例4、在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出了它们的工资标准：A公司许诺第一年的月工资
数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司许诺第一年月工资数2000元，以后每年月工资在上一年工资基础上递增5%。若某人年初同时被A、B两家公司录取，问：
（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的工资收入分别是多少？
（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多为应聘的标准，该人应选择哪家公司，为什么？
（3）在A公司工作比B公司工作的月工资收入最多可以多多少？（精确到1元），并说明理由。 解:(1)设an,bn分别表示第n年此人在A、B公司工作的工资数，则
an?1500?230(n?1),n?N*;bn?2000(1?5%)n?1,n?N*
（1） 设Sn,Sn'分别表示?an?,?bn?的前n项和，则
10?9??S10??1500?10??230??12?3042002??2000(1?1.0510)' S10? ?12?3018691?1.05?S10?S10' 所以此人应选择A公司。
（2） 令Cn?an?bn?1270?230n?2000?1.05n?1
当n?2时，Cn?Cn?1?230?100?1.05n?2 若Cn?Cn?1?0?1.05n?2?2.3?n?19.1
当n?19,n?N时，?Cn?递增，此时C19?a19?b19?827最大；
* 当n?20,n?N时，?Cn?递减，此时C20?a20?b20?816最大
* 所以在A公司工作比在B公司工作月工资收入最多多827元。 注：利用数列的单调性是求数列最值得方法之一。
例5、某布匹批发市场一布商在10月20日购进4000匹布。21日开始销售，且每天他都能销售前一天所剩布匹数目的20%，并新进1000匹新布，设n天后所剩布匹的数目为an （1）计算a1,a2,并求an；
（2）若干天后，布商所剩布匹能否稳定在4900匹到5000匹之内？若能，说出是几天后；若不能，说明理由。
解：（1）a1?4000?80%?1000?4200
a2?4200?80%?1000?4360an?0.8?an?1?1000,n?2
令an?t?0.8(an?1?t)??0.2t?1000?t??5000 ?an?5000?0.8(an?1?5000)
4为公比的等比数列 54n?14n?1* an?5000??800?()?an?5000?800?(),n?N
554n?1 （2）an?4900?5000?800?()?4900?n?10.32
5 ??an?5000?是以-800位首项， 从11天起剩余布匹大于等于4900，而 liman?li?m50?00?800?(?)n??n??5???4n?1?
5000 从10月31日起，剩余布匹稳定在[4900，5000]之间。
注：有些应用问题，直接求通项公式比较困难，可寻找an与an?1之间的递推关系，再求通项。
6、价值22万元的汽车，首次付款2万元，其余按年分期付款，且每年付款数相同，如果年利率为3％，要求在15年内还清本利和，按复利计算，每年要还款多少万元？实际付款比一次性付款多多少万元？ 设每年还款x万元，基本袋款为20万 则第一年：20+20*3%
第二年：20+（20+20*7%）*3% =20+20*3%+20*3%＾2 =20*（1+3%+3%＾2） 由此可得第15年：
=20*（1+3%+7%＾2+3%＾3+.....3%＾15)
由此可知：15X=20*（1+3%+7%＾2+3%＾3+.....3%＾15) =
复利的计算是对本金及其产生的利息一并计算，也就是利上有利。
复利计算的特点是：把上期未的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的。复利的计算公式是：S＝P（1＋i）^n
复利现值是指在计算复利的情况下，要达到未来某一特定的资金金额，现在必须投入的本金。 所谓复利也称利上加利，是指一笔存款或者投资获得回报之后，再连本带利进行新一轮投资的方法。
复利终值是指本金在约定的期限内获得利息后，将利息加入本金再计利息，逐期滚算到约定期末的本金之和。 例如：本金为50000元，利率或者投资回报率为3％，投资年限为30年，那么，30年后所获得的利息收入，按复利计算公式来计算就是：50000×（1＋3％）^30
由于，通胀率和利率密切关联，就像是一个硬币的正反两面，所以，复利终值的计算公式也可以用以计算某一特定资金在不同年份的实际价值。只需将公式中的利率换成通胀率即可。
复利现值是指在计算复利的情况下，要达到未来某一特定的资金金额，现在必须投入的本金。