§5.4 平面向量的应用
1．向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，利用夹角公式 x1x2＋y1y2a·b
cos θ＝＝2222 (θ为a与b的夹角)．
|a||b|x1＋y1x2＋y22．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积．即W＝F·s＝|F||s|cos θ (θ为F与s的夹角)．
3．平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．
此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) →→
(1)若AB∥AC，则A，B，C三点共线．
( √ ) ( √ )
(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决．
(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标
运算．
( √ ) →→
(4)在△ABC中，若AB·BC<0，则△ABC为钝角三角形． ( × )
2π
(5)(理)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2的大小
3( √ )
→
(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0,10)，C(8,0)，若动点P满足：OP→→→
＝OA＋t(AB＋AC)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0. ( √ )
→→
2．(2013·福建)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为
( ) A.5 答案 C
→→解析 ∵AC·BD＝0， ∴AC⊥BD.
1→→∴四边形ABCD的面积S＝|AC|·|BD|
2
1
＝×5×25＝5. 2
3．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为 ππ2ππA.， B.， 6336ππππC.， D.， 3633答案 C
解析 由m⊥n得m·n＝0，即3cos A－sin A＝0，
π
A＋?＝0， 即2cos??6?ππ7ππππ∵ ＝2Rsin(A＋B)＝2Rsin C＝c＝csin C， ππππ 所以sin C＝1，C＝，所以B＝π－－＝. 2326 y→→0，?，4．平面上有三个点A(－2，y)，B?C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为__________． ?2?答案 y2＝8x (x≠0) yy→→ 2，－?，BC＝?x，?， 解析 由题意得AB＝?2???2?→→→→ 又AB⊥BC，∴AB·BC＝0， y?y?22，－?·x，即?2??2?＝0，化简得y＝8x (x≠0)． ? 5．河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的 ( ) B．25 C．5 D．10 为19. 静水速度大小为________． 答案 226 m/s 解析 如图所示小船在静水中的速度为 102＋22＝226 m/s. 题型一 平面向量在平面几何中的应用 例1 如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF. 思维启迪 正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明． 证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0<λ<2)， 22 λ，λ)， 2222 E(1，λ)，F(λ，0)， 22 2222→→ ∴PA＝(－λ，1－λ)，EF＝(λ－1，－λ)， 2222则A(0,1)，P(→ ∴|PA|＝ →|EF|＝ ??－ 222 λ?＋?1－λ?2＝22 λ2－2λ＋1， λ2－2λ＋1， 22 λ－1?2＋?－λ?2＝22 →→ ∴|PA|＝|EF|，即PA＝EF. 思维升华 用向量方法解决平面几何问题可分三步： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． →→ (1)平面上O，A，B三点不共线，设OA＝a，OB＝b，则△OAB的面积等于( ) A.|a|2|b|2－?a·b?2 B.|a|2|b|2＋?a·b?2 1 C.|a|2|b|2－?a·b?2 21 D.|a|2|b|2＋?a·b?2 2 →→→→?ABAC?→ABAC1→→ ＋(2)在△ABC中，已知向量AB与AC满足?·BC＝0且·＝，则△ABC为 →→?→→2?|AB||AC|?|AB||AC|