空间几何体的结构
9．G1[2012·重庆卷] 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围为( )
A．(0，2) B．(0，3) C．(1，2) D．(1，3)
图1－2 9．A [解析] 如图1－2所示，设AB＝a，CD＝2，BC＝BD＝AC＝AD＝1，则∠ACD＝∠BCD＝45°，要构造一个四面体，则△ACD与共面BCD不能重合，当△BCD与△ACD重合时，a＝0；当A、B、C、D四点共面，且A、B两点在DC的两侧时，在△ABC中，∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝45°＋45°＝90°，AB＝AC2＋BC2＝2，所以a的取值范围是(0，2)．
8．G1、G2[2012·陕西卷] 将正方体(如图1－3①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为( )
图1－3
图1－4
8．B [解析] 分析题目中截几何体所得的新的几何体的形状，结合三视图实线和虚线的不同表示可知对应的左视图应该为B.
15．G1、G12[2012·安徽卷] 若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________(写出所有正确结论的编号)．
①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．
15．②④⑤ [解析] 如图，把四面体ABCD放入长方体中，由长方体中相对面中相互异面的两条面对角线不一定相互垂直可知①错误；由长方体中△ABC≌△ABD≌△DCB≌△DCA，可知四面体ABCD每个面的面积相等，同时四面体ABCD中过同一顶点的三个角之和为一个三角形的三个内角之和，即为180°，故②正确，③错误；长方体中相对面中相互异面的两条面对角线中点的连线相互垂直，故④正确；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱可以移到一个三角形中，作为一个三角形的三条边，故⑤正确．答案为②④⑤.
5．G1[2012·上海卷] 一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________． 5．6π [解析] 考查圆柱的表面积，利用圆的周长求得圆柱的底面半径． 由圆柱的底面周长可得底面圆的半径，2πr＝2π，∴r＝1，
得圆柱的表面积S＝2πr2＋2πh＝2π＋4π＝6π. 19．G1、G11[2012·上海卷] 如图1－1，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是
π
PC的中点，已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝23，PA＝2，求：
2
图1－1 (1)三棱锥P－ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)．
1
19．解：(1)S△ABC＝×2×23＝23，
2
图1－2
三棱锥P－ABC的体积为
114V＝S△ABC×PA＝×23×2＝3.
333
(2)取PB的中点E，连接DE、AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．
在△ADE中，DE＝2，AE＝2，AD＝2，
22＋22－23
cos∠ADE＝＝，
2×2×24
3
所以∠ADE＝arccos. 4
3
因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是arccos.
4
G2 空间几何体的三视图和直观图
10．G2[2012·天津卷] 一个几何体的三视图如图1－2所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
图1－2
10．30 [解析] 由三视图可得该几何体为两个直四棱柱的组合体，其体积V＝3×4×21
＋(1＋2)×1×4＝30. 2
13．G2[2012·辽宁卷] 一个几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为________．
图1－3
13．12＋π [解析] 本小题主要考查三视图和体积公式．解题的突破口为通过观察分析三视图，得出几何体的形状，是解决问题的根本．
由三视图可知， 几何体是一个长方体与一个圆柱构成的组合体，所以该几何体的体积为V＝V长方体＋V圆柱＝4×3×1＋π×12×1＝12＋π.
7．G2[2012·课标全国卷] 如图1－2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
图1－3
A．6 B．9 C．12 D．18
7．B [解析] 根据三视图可知该几何体是三棱锥，其底面是斜边长为6的等腰直角三
11
角形(斜边上的高为3)，有一条长为3的侧棱垂直于底面，所以该几何体的体积是V＝×32×6×3×3＝9，故选B.
3. G2、G7[2012·浙江卷] 已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图1－1所示，则该三棱锥的体积是( )
A．1 cm3 B．2 cm3