[学生用书P193]
1．(2015·高考天津卷)现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动．真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d.电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里．电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直．一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射．
(1)求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2；
(2)粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，试求sin θn； (3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之．
解析：(1)粒子在进入第2层磁场时，经过两次电场加速，中间穿过磁场时洛伦兹力不做功．
1由动能定理，有2qEd＝mv2
22由①式解得 v2＝2
qEd m
② ①
粒子在第2层磁场中受到的洛伦兹力充当向心力，有 v22
qv2B＝m
r2由②③式解得 2r2＝
B
mEd. q
④ ③
(2)设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，轨迹半径为rn(各量的下标均代表粒子所在层数，下同)．
1
nqEd＝mv2
2nv2n
qvnB＝m
rn
⑤ ⑥
甲
粒子进入第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为αn，从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有
vn－1sin θn－1＝vnsin αn 由图甲看出 rnsin θn－rnsin αn＝d 由⑥⑦⑧式得 rnsin θn－rn－1sin θn－1＝d
⑨ ⑧ ⑦
由⑨式看出r1sin θ1，r2sin θ2，…，rnsin θn为一等差数列，公差为d，可得 rnsin θn＝r1sin θ1＋(n－1)d
10 ○
乙
当n＝1时，由图乙看出 r1sin θ1＝d 由⑤⑥⑩?式得 sin θn＝B
nqd. 2mE
?
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，则 π
θn＝，sin θn＝1
2
q′
在其他条件不变的情况下，换用比荷更大的粒子，设其比荷为，假设能穿出第n层磁
m′q′q
场右侧边界，粒子穿出时速度方向与水平方向的夹角为θ′n，由于> m′m
则导致sin θ′n>1
说明θ′n不存在，即原假设不成立．所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界．
答案：见解析
2．(2018·烟台模拟)如图所示的平面直角坐标系xOy，
在第Ⅰ、Ⅲ象限内有平行于y轴，电场强度大小相同、方向相反的匀强电场，在第Ⅳ象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场．一质量为m，电荷量为q的带电粒子，从y轴上的M(0，d)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴的N?
23?d，0点进入
?3?
第Ⅳ象限内，又经过磁场垂直y轴进入第Ⅲ象限，最终粒子从x轴上的P点离开．不计粒子所受到的重力．求：
(1)匀强电场的电场强度E和磁场的磁感应强度B的大小； (2)粒子运动到P点的速度大小； (3)粒子从M点运动到P点所用的时间． 解析：
(1)粒子运动轨迹如图所示．
设粒子在第Ⅰ象限内运动的时间为t1，粒子在N点时速度大小为v1，方向与x轴正方向间的夹角为θ，则：
23x＝v0t1＝d
31y＝at2＝d 21
vyat1qE＝ma，tan θ＝＝ v0v0v0v1＝ cos θ
23mv0π
联立以上各式得：θ＝，v1＝2v0，E＝.
32qd
v21粒子在第Ⅳ象限内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：qv1B＝m
R