复变函数论 期末复习题

6、利用留数定理计算积分:?2?dx0a?cosx,(a?1).

《复变函数》考试试题(八)

一、判断题

1、若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0连续.( )

2、若函数f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件,则f(z)在z0处解析.( ) 3、如果z0是f(z)的本性奇点,则limz?zf(z)一定不存在.( )

05、若函数f(z)是区域D内的解析函数,则它在D内有任意阶导数.( )

6、若函数f(z)是单连通区域D内的每一点均可导,则它在D内有任意阶导数.(7、若函数f(z)在区域D内解析且f?(z)?0,则f(z)在D内恒为常数.( ) 6. sinz是一个有界函数.( ) 二、填空题 1、若zn?2n?1?n?i(1?1n)n,则limzn?___________. 2、设f(z)?lnz,则f(z)的定义域为____________________________. 3、函数sinz的周期为______________. ??5、幂级数

?nzn5的收敛半径为________________.

n?06、函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为______________________________. 7、若C是单位圆周,n是自然数,则

?1C(z?zndz?______________.

0)8、函数f(z)?z的不解析点之集为__________. 9、若f(z)?11?z2,则f(z)的孤立奇点有_________________. 三、计算题 1、求

??1dzz?1ezsinzdz?12?i?z?3(z?1)(z?4)

2、设f(z)??3?2?7??1C??zd?,其中C??z:z?3?,试求f?(1?i). 11

) ez3、设f(z)?2,求Res(f(z),?).

z?11的罗朗展式. 2z?zz?15、求复数w?的实部与虚部.

z?14、求函数

《复变函数》考试试题(九)

一、判断题

1、若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析.( )

2、若函数f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件,则f(z)在z0处解析.( ) 3、如果z0是f(z)的极点,则limf(z)一定存在且等于无穷大.( )

z?z04、若函数f(z)在单连通区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有( )

?Cf(z)dz?0.

5、若函数f(z)在z0处解析,则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.( ) 6、若函数f(z)在区域D内的解析,且在D内某一条曲线上恒为常数,则f(z)在区域D内恒为常数.( )

7、若z0是f(z)的m阶零点,则z0是二、填空题

1的m阶极点.( ) f(z)12?i(1?)n,则limzn?___________. 1?nn12、设f(z)?,则f(z)的定义域为____________________________.

sinz3、函数sinz的周期为______________.

1、若zn?sin4、sinz?cosz?_______________. 5、幂级数

22?nzn?0??n的收敛半径为________________.

6、若z0是f(z)的m阶零点且m?1,则z0是f?(z)的____________零点. 8、函数f(z)?z的不解析点之集为__________.

12

10、Res(ezz2?1,1)?_________________. 三、计算题

n1、lim?2?i?n????6?? 2、设f(z)??3?2?7??1C??zd?,其中C??z:z?3?,试求f?(1?i). )?ez3、设f(zz2?1,求Res(f(z),?i).

4、求函数

z(z?1)(z?2)在1?z?2内的罗朗展式.

3、 求复数w?z?1z?1的实部与虚部.

《复变函数》考试试题(十)

一、判断题

1、若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0的某个邻域内可导.( ) 2、如果z0是f(z)的本性奇点,则limz?zf(z)一定不存在.( )

03、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续,则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.(4、cosz与sinz在复平面内有界.( )

5、若z0是f(z)的m阶零点,则z0是1/f(z)的m阶极点.( ) 6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件,则f(z)在z0解析.( ) 7、若limz?zf(z)存在且有限,则z0是函数的可去奇点.( )

08、若f(z)在单连通区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有

?Cf(x)dz?0.(9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数,则它在D内有任意阶导数.( ) 二、填空题:

1、函数ez的周期为_________________.

13

) )

2、幂级数

?nzn?0??n的和函数为_________________.

3、设f(z)?1,则f(z)的定义域为_________________. 2z?14、

?nzn?0??n的收敛半径为_________________.

三、计算题(40分): 1、

?zzdz.

(9?z2)(z?i)eiz,?i). 2、求Res(21?z?1?i??1?i?3、?????.

?2??2?4、设u(x,y)?ln(x2?y2). 求v(x,y),使得f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数,且满足

nnf(1?i)?ln2。其中z?D(D为复平面内的区域).

《复变函数》考试试题(十一)

一、判断题.(正确者在括号内打√,错误者在括号内打×,) 1.当复数z?0时,其模为零,辐角也为零. ( ) 二、填空题.

1.i?i?i?i?i? _____________________. 3.函数w?

423456122将z平面上的曲线(x?1)?y?1变成w平面上的曲线______________. z

44.方程z?a?0(a?0)的不同的根为________________. 5.(1?i)___________________.

3368.函数f(z)?6sinz?z(z?6)的零点z?0的阶数为_____________________.

i9.设a为函数f(z)??(z)的一阶极点,且?(a)?0,?(a)?0,??(a)?0,则?(z)Resz?af?(z)?_____________________. f(z) 14

三、计算题

1ln(x2?y2)。求v(x,y),使得f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数,且21满足f(1?i)?ln2.其中z?D(D为复平面内的区域).

21.设u(x,y)?2.求下列函数的奇点,并确定其类型(对于极点要指出它们的阶). (1) tanz; (2)3.计算下列积分. (1)

2e. ez?11z?1?2?0d? .

1?cos?《复变函数》考试试题(十二)

二、判断题。(正确者在括号内打√,错误者在括号内打×,)

1.设复数z1?x1?iy1及z2?x2?iy2,若x1?x2或y1?y2,则称z1与z2是相等的复数。( )

2.函数f(z)?Rez在复平面上处处可微。 ( ) 3.sinz?cosz?1且sinz?1,cosz?1。 ( ) 二、填空题。

1.i?i?i?i?i? _____________________。

2345622z??,?0,且???arg2.设z?x?iy?yarg?arcta?n________________。

x3.若已知f(z)?x(1??2?y?arcta?n,当x?0,y?0时,

x211)?iy(1?),则其关于变量z的表达式为__________。

x2?y2x2?y25.若lnz??2i,则z?_______________。

6.

?z?1dz?________________。 z2467.级数1?z?z?z??的收敛半径为________________。 10.设a为函数f(z)的n阶极点,则Resz?af?(z)?_____________________。 f(z) 15

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