复变函数论 期末复习题

3.计算下列积分。

z7 (1)?dz ,

z?2(z2?1)3(z2?2) 四、证明题

1.讨论函数f(z)?z在复平面上的解析性。

《复变函数》考试试题(十三)

一、填空题.

1.设z?r(cos??isin?),则

1?_____________________. zz?z02.设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y),A?u0?iv0,z0?x0?iy0,则limf(z)?A的充要条件是_______________________.

3.设函数f(z)在单连通区域D内解析,则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分

?Cf(z)dz?_________________________.

z?a4.设z?a为f(z)的极点,则limf(z)?____________________. 5.设f(z)?zsinz,则z?0是f(z)的________阶零点. 6.设f(z)?1,则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_________________. 1?z27.设z?a?z?a?b,其中a,b为正常数,则点z的轨迹曲线是_________________. 8.设z??sin??6?icos?6,则z的三角表示为_________________________.

9.

?40zcoszdz?___________________________.

e?z10.设f(z)?2,则f(z)在z?0处的留数为________________________.

z二、计算题.

1.计算下列各题.

3?i(1) cosi; (2) ln(?2?3i); (3) 3

2.求解方程z?8?0.

223.设u?x?y?xy,验证u是调和函数,并求解析函数f(z)?u?iv,使之

3 16

f(i)??1?i.

4.计算积分. (1) (2)

?C(x2?iy)dz,其中C是沿y?x2由原点到点z?1?i的曲线.

[(x?y)?ix2]dz,积分路径为自原点沿虚线轴到i,再由i沿水平方向向右到1?i.

?1?i05.试将函数f(z)?1分别在圆环域0?z?1和1?z?2内展开为洛朗级数.

(z?1)(z?2)6.计算下列积分.

5z?2(1) ??z?2z(z?1)2dz; (2)

8.求下列幂级数的收敛半径. (1)

sin2z??z?4z2(z?1)dz.

?nzn?1?n?1(?1)nn; (2) ?z.

n!n?1?《复变函数》考试试题(十四)

一、填空题.

1.设z?r(cos??isin?),则z?___________________.

2.设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y),A?u0?iv0,z0?x0?iy0,则limf(z)?A的充

z?z0n要条件______________________.

3.设函数f(z)在单连通区域D内解析,则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分

?Cf(z)dz?_________________________.

z?a4.设z?a为f(z)的可去奇点,limf(z)?____________________. 5.设f(z)?z2(ez?1),则z?0是f(z)的________阶零点. 6.设f(z)?21,则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_________________. 21?z7.设z?a?z?a?b,其中a,b为正常数,则点z的轨迹曲线是_________________. 8.设z?sin??icos?,则z的三角表示为_________________________. 9.

?1?i0zezdz?___________________________.

210.设f(z)?zsin1,则f(z)在z?0处的留数为________________________. z17

二、计算题.

1.计算下列各题. (1) Ln(?3?4i); (2) e2.求解方程z?2?0.

3.设u?2(x?1)y,验证u是调和函数,并求解析函数f(z)?u?iv,使之f(2)??i. 4.计算积分

3?1??i6; (3) (1?i)1?i

?1?i0[(x?y)?ix2]dz,其中路径为(1)自原点到点1?i的直线段;

(2)自原点沿虚轴到i,再由i沿水平方向向右到1?i. 5.试将函数f(z)?6.计算下列积分.

1在z?1的邻域内的泰勒展开式.

(z?2)z2?2(1) ??z?4z2(z?3)dz. ?z?2?2dz; (2) ?(z?)2sinz7.计算积分

?n2?0d?.

5?3sin??8.求下列幂级数的收敛半径.

(n!)2n(1) ?(1?i)z; (2) ?nz.

n?1n?1n?n9.设f(z)?my?nxy?i(x?lxy)为复平面上的解析函数,试确定l,m,n的值.

3232

18

试卷一至十四参考答案

《复变函数》考试试题(一)参考答案

一. 判断题

1.×2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.×8.×9.×10.× 二.填空题 1. ??2?in?1?0n?1 ; 2. 1; 3. 2k?,(k?z); 4. z??i; 5. 6. 整函数; 7. ?; 8. 1(n?1)!; 9. 0; 三.计算题.

1. 解 因为0?z?1, 所以0?z?1

? f(z)?1(z?1)(z?2)?111?z??2(1?z)?zn?1n?02??(z)n. n?0222. 解 因为

z??Resf(z)?lim2z??cosz?lim1??1, 2z??2z??2?sinzz??Resf(z)?lim2z????cosz?lim1?1. 2z??2z???2?sinz所以

?1z?2coszdz?2?i(Resf(z)?Resf(z)?0z????. 2z?23. 解 令?(?)?3?2?7??1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内, f(z)???(?)c??zdz?2?i?(z).

所以f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4. 解 令z?a?bi, 则 w?z?122z?1?1?z?1?1?a(?1?bi)2a(?1)b2(a?12)?b2?1?(a?21)?b2?a(?21)?. 19

1

10. ?.

2b 故 Re(z?12(a?1)z?1z?1)?1?(a?1)2?b2, Im(z?1)?2b(a?1)2?b2. 四. 证明题.

1. 证明 设在D内f(z)?C. 令f(z)?u?iv,则f(z)2?u2?v2?c2.

两边分别对x,y求偏导数, 得 ??uux?vvx?0(1?uuy?vv(2 )y?0)因为函数在D内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为??uux?vvx?0?vu. 消去ux得, (u2?v2)vx?0. x?uvx?01) 若u2?v2?0, 则 f(z)?0 为常数.

2) 若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 C.?R.方程有ux?0, uy?0, vy?0. 所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数). 所以f(z)?c1?ic2为常数.

《复变函数》考试试题(二)参考答案

一. 判断题.

1.√ 2.×3.√ 4.√ 5.×6.×7.×8.√ 9.×10.×. 二. 填空题 1.1,??2, i; 2. 3?(1?sin2)i; 3. ??2?in?1; 4. 1; ?0n?1 6. 2k?i,(k?z). 7. 0; 8. ?i; 9. R; 三. 计算题

3??(?1)n(2z3)2n?1?(?1)n22n?1z6n?31. 解 sin(2z)?n?0(2n?1)!??n?0(2n?1)!. 2. 解 令z?rei?. ?2k? 则f(z)?z?rei?2,(k?0,1).

又因为在正实轴去正实值,所以k?0.

20

5. m?1.

10. 0.

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