3．计算下列积分。
z7 （1）?dz ，
z?2(z2?1)3(z2?2) 四、证明题
1．讨论函数f(z)?z在复平面上的解析性。
《复变函数》考试试题（十三）
一、填空题．
１．设z?r(cos??isin?)，则
1?_____________________． zz?z0２．设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，A?u0?iv0，z0?x0?iy0，则limf(z)?A的充要条件是_______________________．
３．设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分
?Cf(z)dz?_________________________．
z?a４．设z?a为f(z)的极点，则limf(z)?____________________． ５．设f(z)?zsinz，则z?0是f(z)的________阶零点． ６．设f(z)?1，则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_________________． 1?z2７．设z?a?z?a?b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是_________________． ８．设z??sin??6?icos?6，则z的三角表示为_________________________．
９．
?40zcoszdz?___________________________．
e?z１０．设f(z)?2，则f(z)在z?0处的留数为________________________．
z二、计算题．
１．计算下列各题．
3?i(1) cosi； (2) ln(?2?3i); (3) 3
2．求解方程z?8?0．
22３．设u?x?y?xy，验证u是调和函数，并求解析函数f(z)?u?iv，使之
3 16
f(i)??1?i．
４．计算积分． (1) (2)
?C(x2?iy)dz，其中C是沿y?x2由原点到点z?1?i的曲线．
[(x?y)?ix2]dz，积分路径为自原点沿虚线轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i．
?1?i0５．试将函数f(z)?1分别在圆环域0?z?1和1?z?2内展开为洛朗级数．
(z?1)(z?2)６．计算下列积分．
5z?2(1) ??z?2z(z?1)2dz； (2)
８．求下列幂级数的收敛半径． (1)
sin2z??z?4z2(z?1)dz．
?nzn?1?n?1(?1)nn； (2) ?z．
n!n?1?《复变函数》考试试题（十四）
一、填空题．
１．设z?r(cos??isin?)，则z?___________________．
２．设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，A?u0?iv0，z0?x0?iy0，则limf(z)?A的充
z?z0n要条件______________________．
３．设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分
?Cf(z)dz?_________________________．
z?a４．设z?a为f(z)的可去奇点，limf(z)?____________________． ５．设f(z)?z2(ez?1)，则z?0是f(z)的________阶零点． ６．设f(z)?21，则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_________________． 21?z７．设z?a?z?a?b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是_________________． ８．设z?sin??icos?，则z的三角表示为_________________________． ９．
?1?i0zezdz?___________________________．
2１０．设f(z)?zsin1，则f(z)在z?0处的留数为________________________． z17
二、计算题．
１．计算下列各题． (1) Ln(?3?4i)； (2) e2．求解方程z?2?0．
３．设u?2(x?1)y，验证u是调和函数，并求解析函数f(z)?u?iv，使之f(2)??i． ４．计算积分
3?1??i6; (3) (1?i)1?i
?1?i0[(x?y)?ix2]dz，其中路径为（１）自原点到点1?i的直线段；
(2)自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i． ５．试将函数f(z)?６．计算下列积分．
1在z?1的邻域内的泰勒展开式．
(z?2)z2?2(1) ??z?4z2(z?3)dz． ?z?2?2dz； (2) ?(z?)2sinz７．计算积分
?n2?0d?．
5?3sin??８．求下列幂级数的收敛半径．
(n!)2n(1) ?(1?i)z； (2) ?nz．
n?1n?1n?n９．设f(z)?my?nxy?i(x?lxy)为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值．
3232
18
试卷一至十四参考答案
《复变函数》考试试题（一）参考答案
一． 判断题
1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. ??2?in?1?0n?1 ； 2. 1； 3. 2k?，(k?z)； 4. z??i； 5. 6. 整函数； 7. ?； 8. 1(n?1)!； 9. 0； 三．计算题.
1. 解 因为0?z?1, 所以0?z?1
? f(z)?1(z?1)(z?2)?111?z??2(1?z)?zn?1n?02??(z)n. n?0222. 解 因为
z??Resf(z)?lim2z??cosz?lim1??1, 2z??2z??2?sinzz??Resf(z)?lim2z????cosz?lim1?1. 2z??2z???2?sinz所以
?1z?2coszdz?2?i(Resf(z)?Resf(z)?0z????. 2z?23. 解 令?(?)?3?2?7??1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内, f(z)???(?)c??zdz?2?i?(z).
所以f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4. 解 令z?a?bi, 则 w?z?122z?1?1?z?1?1?a(?1?bi)2a(?1)b2(a?12)?b2?1?(a?21)?b2?a(?21)?. 19
1
10. ?.
2b 故 Re(z?12(a?1)z?1z?1)?1?(a?1)2?b2, Im(z?1)?2b(a?1)2?b2. 四. 证明题.
1. 证明 设在D内f(z)?C. 令f(z)?u?iv,则f(z)2?u2?v2?c2.
两边分别对x,y求偏导数, 得 ??uux?vvx?0(1?uuy?vv(2 )y?0)因为函数在D内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为??uux?vvx?0?vu. 消去ux得, (u2?v2)vx?0. x?uvx?01) 若u2?v2?0, 则 f(z)?0 为常数.
2) 若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 C.?R.方程有ux?0, uy?0, vy?0. 所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数). 所以f(z)?c1?ic2为常数.
《复变函数》考试试题（二）参考答案
一. 判断题.
1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题 1.1，??2， i； 2. 3?(1?sin2)i； 3. ??2?in?1； 4. 1； ?0n?1 6. 2k?i，(k?z). 7. 0； 8. ?i； 9. R； 三. 计算题
3??(?1)n(2z3)2n?1?(?1)n22n?1z6n?31. 解 sin(2z)?n?0(2n?1)!??n?0(2n?1)!. 2. 解 令z?rei?. ?2k? 则f(z)?z?rei?2,(k?0,1).
又因为在正实轴去正实值，所以k?0.
20
5. m?1.
10. 0.