复变函数论 期末复习题

由g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1,在D1内恒有g(z)?0,因此

1在内D1解析,故g(z)z0为

1的m阶极点. f(z)《复变函数》考试试题(七)参考答案

一、判断题:1.√ 2. √ 3. × 4.√ 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 二、填空题:1. ei 2. z??1 3. 2?i 4. 1 6. m?1阶 7. 整函数 8. ? 9. 0 三、计算题: 1. 解:(1?i2)2?(1?i2)2?i?i?0. 2. 解:?1?i?2?3, ?f(z)?1f(?)2?i?C??zd?

??3?2?7??1C??zd?. 因此 f(?)?2?i(?32??7? 1) 故f(z)?2?i(3z2?7z?1)

f?(1?i)?2?i(6z?7)1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).

?zn3. 解:ez?n?0n!111z2?z2?z2?z?2??,

因此Res(f(z),0)?1. 4. 解:

z(z?1)(z?2)??1z?1?2z?2??11z(1?1?z z)1?2 由于1?z?2,从而1?1,zz2?1. 因此在1?z?2内

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5. 1 10. 1(n?1)!

z有

(z?1)z(?

??1?1nzn1n1z???()?()???[(?)?(n )].?2)zn?0zn?02z2n?0z?1x?1?iy(x2?y2?1)?2yi5.解:设z?x?iy, 则w?. ??z?1z?1?iy(x?1)2?y2x2?y2?1 ?Rew?,22(x?1)?yi?6.解:设z?e,则d??Imw?2y. 22(x?1)?y?2?0dz11,cos??(z?), iz2zd?dz22idz ?????z?1izz?1z2?2az?11a?cos?2a?z?z?a?1,故奇点为z0?a2?1?a

?2?0d?12??4??Resf(z)?4???a?cos?z?z02a2?1a2?1.

四、证明题:

2.证明:设f(z)?u?v?c,则

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2u?ux?2v?vx?0,2u?uy?2v?vy?0.

已知f(z)在区域D内解析,从而有ux?vy,将此代入上上述两式得

uy??vx

uux?vuy?0,uuy?vux?0.

因此有 ux?0,uy?0, 于是有vx?0,vy?0. 即有 u?c1,v?c2,故f(z)在区域D恒为常数.

3.证明:由于z0是f(z)的m阶零点,从而可设 f(z)?(z?z0)g(z),

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mf(z)?c1?ic2

其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0,

于是

111 ??f(z)(z?z0)mg(z)1在内D1解析,故g(z)由g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1,在D1内恒有g(z)?0,因此

z0为

1的m阶极点. f(z)《复变函数》考试试题(八)参考答案

一、判断题:1.√ 2. × 3. √ 4. × 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 9. √ 10.× 二、填空题:1. ?1?ei 2. z?0,? 3. 2? 4. ? 5. 1

??0,n?1 6. ?(iz) 7. ? 8. ? 9. 5 10. z??1

k=0??2?i,n?1?2k三、计算题: 1. 解:由于e所以

z?1sinz在z?1解析,

?z?1ez?1sinzdz?0

1dz1dz11(z?4)???而

2?i?z?3(z?1)(z?4)2?i?z?3(z?1)3因此

?z?1ez?1sinzdz?1dz1??.

2?i?z?3(z?1)(z?4)32. 解:?1?i?2?3, ?f(z)?1f(?)d?

2?i?C??z3?2?7??1d?. ??C??z 因此 f(?)?2?i(?3?22?7? 1) 故f(z)?2?i(3z?7z?1)

f?(1?i)?2?i(6z?7)1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).

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ezez11?(?) 3. 解:f(z)?2z?12z?1z?1efz(),?1) Res(2,e?1sRfez(?(?)?,1)

2,ee?1e?1?e)?. 因此 Res(f(z),?)??(?2224.解:

z?101111z?1211111z?121 ????????22212(z?1)(z?2)z?1z?2z1?z1?2zz1?1,z2?1 z2由于2?z???,从而

因此在2?z???内有

z?10(z?1)z(2?11?1????()n?2)zn?0zz1?1z2??(n?0z1?2n22?n11)?n1 11)??(2()?[?n2z(?11?1z2)z?n0]z?1x?1?iy(x2?y2?1)?2yi5.解:设z?x?iy, 则w?. ??22z?1z?1?iy(x?1)?yx2?y2?1 ?Rew?,22(x?1)?yixixImw?2y. 22(x?1)?y6.解:设z?e, 则dz?iedx?izdx

11(z?) 2iz?dx12?dx??02?sin2x2?02?sin2x 112izdz?2dz?? ??

z?1z2?4iz?12z?1izz?4iz?11在z?1内2只有z?(3?2)i一个一级极点

z?4iz?1sinx?Res[f(z),(3?2)i]???i23

因此 四、证明:

?0dx?i??2?i??. 22?sinx233 29

2. 证明:因为f(z)?u(x,y)?iv(x,y),在D内连续, 所以?(x0,y0)?D,

???0,???0.

当x?x0??,y?y0??时有

f(x,y)?f(x0,y0)?u(x,y)?u(x0,y0)?i[v(x,y)?v(x0,y0)]

?{[u(x,y)?u(x0,y0)]?[v(x,y)?v(x0,y0)]}??, 从而有u(x,y)?u(x0,y0)??, v(x,y)?v(x0,y0)??.

即与在连续,由(x0,y0)?D的任意性知u(x,y)与v(x,y)都在D内连续 3.证明:由于z0是f(z)的m阶零点,从而可设 f(z)?(z?z0)mg(z), 其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0,

于是

2122111 ??f(z)(z?z0)mg(z)1在内D1解析,故g(z)由g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1,在D1内恒有g(z)?0,因此

z0为

1的m阶极点. f(z)《复变函数》考试试题(九)参考答案

一、判断题(20分)

1、× 2、× 3、√ 4、√ 5、√ 6、√ 7、√ 8、√ 9、× 10、√

二、填空题(20分)

1、e?zi 2、z?k?,k?0,?1,?2,? 3、2? 4、1 5、1

6、m?1 7、整函数 8、c 9、8 10、e 三、计算题(30)

1、解:?2?i52?in??1,?lim()?0.

n??6662、解:?1?i?2?3,

30

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