由g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此
1在内D1解析，故g(z)z0为
1的m阶极点. f(z)《复变函数》考试试题（七）参考答案
一、判断题：1.√ 2. √ 3. × 4.√ 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 二、填空题：1. ei 2. z??1 3. 2?i 4. 1 6. m?1阶 7. 整函数 8. ? 9. 0 三、计算题： 1. 解：(1?i2)2?(1?i2)2?i?i?0. 2. 解：?1?i?2?3, ?f(z)?1f(?)2?i?C??zd?
??3?2?7??1C??zd?. 因此 f(?)?2?i(?32??7? 1) 故f(z)?2?i(3z2?7z?1)
f?(1?i)?2?i(6z?7)1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).
?zn3. 解：ez?n?0n!111z2?z2?z2?z?2??,
因此Res(f(z),0)?1. 4. 解：
z(z?1)(z?2)??1z?1?2z?2??11z(1?1?z z)1?2 由于1?z?2，从而1?1,zz2?1. 因此在1?z?2内
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5. 1 10. 1(n?1)!
z有
(z?1)z(?
??1?1nzn1n1z???()?()???[(?)?(n )].?2)zn?0zn?02z2n?0z?1x?1?iy(x2?y2?1)?2yi5．解：设z?x?iy, 则w?. ??z?1z?1?iy(x?1)2?y2x2?y2?1 ?Rew?,22(x?1)?yi?6.解：设z?e，则d??Imw?2y. 22(x?1)?y?2?0dz11,cos??(z?)， iz2zd?dz22idz ?????z?1izz?1z2?2az?11a?cos?2a?z?z?a?1，故奇点为z0?a2?1?a
?2?0d?12??4??Resf(z)?4???a?cos?z?z02a2?1a2?1.
四、证明题：
2.证明：设f(z)?u?v?c，则
22
2u?ux?2v?vx?0,2u?uy?2v?vy?0.
已知f(z)在区域D内解析，从而有ux?vy,将此代入上上述两式得
uy??vx
uux?vuy?0,uuy?vux?0.
因此有 ux?0,uy?0, 于是有vx?0,vy?0. 即有 u?c1,v?c2,故f(z)在区域D恒为常数.
3.证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设 f(z)?(z?z0)g(z)，
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mf(z)?c1?ic2
其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0，
于是
111 ??f(z)(z?z0)mg(z)1在内D1解析，故g(z)由g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此
z0为
1的m阶极点. f(z)《复变函数》考试试题（八）参考答案
一、判断题：1.√ 2. × 3. √ 4. × 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 9. √ 10.× 二、填空题：1. ?1?ei 2. z?0，? 3. 2? 4. ? 5. 1
??0,n?1 6. ?(iz) 7. ? 8. ? 9. 5 10. z??1
k=0??2?i,n?1?2k三、计算题： 1. 解：由于e所以
z?1sinz在z?1解析，
?z?1ez?1sinzdz?0
1dz1dz11(z?4)???而
2?i?z?3(z?1)(z?4)2?i?z?3(z?1)3因此
?z?1ez?1sinzdz?1dz1??.
2?i?z?3(z?1)(z?4)32. 解：?1?i?2?3, ?f(z)?1f(?)d?
2?i?C??z3?2?7??1d?. ??C??z 因此 f(?)?2?i(?3?22?7? 1) 故f(z)?2?i(3z?7z?1)
f?(1?i)?2?i(6z?7)1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).
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ezez11?(?) 3. 解：f(z)?2z?12z?1z?1efz(),?1) Res(2,e?1sRfez(?(?)?,1)
2,ee?1e?1?e)?. 因此 Res(f(z),?)??(?2224.解：
z?101111z?1211111z?121 ????????22212(z?1)(z?2)z?1z?2z1?z1?2zz1?1,z2?1 z2由于2?z???，从而
因此在2?z???内有
z?10(z?1)z(2?11?1????()n?2)zn?0zz1?1z2??(n?0z1?2n22?n11)?n1 11)??(2()?[?n2z(?11?1z2)z?n0]z?1x?1?iy(x2?y2?1)?2yi5．解：设z?x?iy, 则w?. ??22z?1z?1?iy(x?1)?yx2?y2?1 ?Rew?,22(x?1)?yixixImw?2y. 22(x?1)?y6．解：设z?e, 则dz?iedx?izdx
11(z?) 2iz?dx12?dx??02?sin2x2?02?sin2x 112izdz?2dz?? ??
z?1z2?4iz?12z?1izz?4iz?11在z?1内2只有z?(3?2)i一个一级极点
z?4iz?1sinx?Res[f(z),(3?2)i]???i23
因此 四、证明：
?0dx?i??2?i??. 22?sinx233 29
2. 证明：因为f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，在D内连续, 所以?(x0,y0)?D,
???0,???0.
当x?x0??,y?y0??时有
f(x,y)?f(x0,y0)?u(x,y)?u(x0,y0)?i[v(x,y)?v(x0,y0)]
?{[u(x,y)?u(x0,y0)]?[v(x,y)?v(x0,y0)]}??, 从而有u(x,y)?u(x0,y0)??, v(x,y)?v(x0,y0)??.
即与在连续，由(x0,y0)?D的任意性知u(x,y)与v(x,y)都在D内连续 3.证明：由于z0是f(z)的m阶零点，从而可设 f(z)?(z?z0)mg(z)， 其中g(z)在z0的某邻域内解析且g(z0)?0，
于是
2122111 ??f(z)(z?z0)mg(z)1在内D1解析，故g(z)由g(z0)?0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)?0，因此
z0为
1的m阶极点. f(z)《复变函数》考试试题（九）参考答案
一、判断题（20分）
1、× 2、× 3、√ 4、√ 5、√ 6、√ 7、√ 8、√ 9、× 10、√
二、填空题（20分）
1、e?zi 2、z?k?,k?0,?1,?2,? 3、2? 4、1 5、1
6、m?1 7、整函数 8、c 9、8 10、e 三、计算题（30）
1、解：?2?i52?in??1,?lim()?0.
n??6662、解：?1?i?2?3,
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