整式恒等变形一览()

初中数学中的整式恒等式一览表

草根雾岩

学完乘法公式和因式分解后,对比较常见的整式恒等式进行总结,以方便学生们

@初中理科班数学

进行查阅. 比较重要的恒等式都有自己的名字,一般以恒等式的形式或者发现者的名字命名;另外一些虽然在“中考中不能使用,但却是广大劳动人民智慧的结晶,所谓的‘民间定理’”!

【1】

在恒等式的群山之巅闪耀着不朽的光辉!本文试着按照不同

难度要求对恒等式进行分类.

【课内涉及的恒等式】

(1)平方差公式

?a?b??a?b??a2?b2

(2)完全平方和、差公式

(a?b)2?a2?2ab?b2

??a?b??a?b??b2?a2

(a?b)2?a2?2ab?b2

(3)平方和与完全平方和差的关系

a2?b2??a?b??2ab

2a2?b2??a?b??2ab

2 (4)完全平方和差的关系

?a?b???a?b?22?4ab

?a?b???a?b?22?2?a2?b2?

(5)三项和完全平方公式

?a?b?c?

2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca

(6)两项轮换差的完全平方和

a2?b2?c2?ab?bc?ca?1?222a?b???b?c???c?a?? ??2? (7)十字相乘法

?x?p??x?q??x2??p?q?x?pq

(8)分组分解法

ax?by?ay?bx??a?b??x?y?

【自招中涉及的公式】

(1)立方和、差公式

(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3

(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3

(2)完全立方和、差公式

(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3

(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3

(3)立方和差与完全立方和差的关系

a3?b3??a?b??3ab?a?b?

3

a3?b3??a?b??3ab?a?b?

3 (4)杨辉三角

?a?b?5?a5?5a4b?10a3b2?10a2b3?5ab4?b5 ?a5?5a4b?10a3b2?10a2b3?5ab4?b5

?a?b?

5(5)四项和完全平方公式

?a?b?c?d?2?a2?b2?c2?d2?2ab?2ac?2ad?2bc?2bd?2cd

【几个比较有名的配方公式】

(1)?a2?b2??c2?d2???ac?bd???ad?bc???ac?bd???ad?bc?

2222这是著名的菲波那切(Fibonacci,1170--1250)恒等式. 该恒等式可以推出二

元柯西不等式.

(2)?a?b??a4?b4?2?a2?ab?b2?

42(3)?n?1??n2??n?1??n2??n2?n?1?

222(4)a4?b4?c4?d4?4abcd??a2?b2???c2?d2??2?ab?cd?

222该恒等式可以推出四元的均值不等式. (5)x?x?1??x?2??x?3??1??x2?3x?1?

2该恒等式可以说明连续四个正整数的积不是完全平方数. (6)?a?b???b?c???c?a??2223212a?b2?c2???a?b?c? ?22一个求最值问题的变形,奥精上有这道题,去年某区初赛考了它的推广形式. (7)n4?4k4??n2?2nk?2k2??n2?2nk?2k2?

双二次式的因式分解,配方法和平方差结合的典例,类似的方法可以证明对于一

切整数n?1,4n4?1及n4?4都是合数,前者被称为哥德巴赫定理(Goldbach,1690--1764),后者被称为吉梅茵(Germain,1776--1831)定理

【2】

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当然,4这个系数还可以改为64、324、1024等具有形式4t4的数。

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