初中数学中的整式恒等式一览表
草根雾岩
学完乘法公式和因式分解后，对比较常见的整式恒等式进行总结，以方便学生们
@初中理科班数学
进行查阅. 比较重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者发现者的名字命名；另外一些虽然在“中考中不能使用，但却是广大劳动人民智慧的结晶，所谓的‘民间定理’”！
【1】
在恒等式的群山之巅闪耀着不朽的光辉！本文试着按照不同
难度要求对恒等式进行分类.
【课内涉及的恒等式】
（1）平方差公式
?a?b??a?b??a2?b2
（2）完全平方和、差公式
(a?b)2?a2?2ab?b2
??a?b??a?b??b2?a2
(a?b)2?a2?2ab?b2
（3）平方和与完全平方和差的关系
a2?b2??a?b??2ab
2a2?b2??a?b??2ab
2 （4）完全平方和差的关系
?a?b???a?b?22?4ab
?a?b???a?b?22?2?a2?b2?
（5）三项和完全平方公式
?a?b?c?
2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca
（6）两项轮换差的完全平方和
a2?b2?c2?ab?bc?ca?1?222a?b???b?c???c?a?? ??2? （7）十字相乘法
?x?p??x?q??x2??p?q?x?pq
（8）分组分解法
ax?by?ay?bx??a?b??x?y?
【自招中涉及的公式】
（1）立方和、差公式
(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3
(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3
（2）完全立方和、差公式
(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3
(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3
（3）立方和差与完全立方和差的关系
a3?b3??a?b??3ab?a?b?
3
a3?b3??a?b??3ab?a?b?
3 （4）杨辉三角
?a?b?5?a5?5a4b?10a3b2?10a2b3?5ab4?b5 ?a5?5a4b?10a3b2?10a2b3?5ab4?b5
?a?b?
5（5）四项和完全平方公式
?a?b?c?d?2?a2?b2?c2?d2?2ab?2ac?2ad?2bc?2bd?2cd
【几个比较有名的配方公式】
（1）?a2?b2??c2?d2???ac?bd???ad?bc???ac?bd???ad?bc?
2222这是著名的菲波那切（Fibonacci，1170--1250）恒等式. 该恒等式可以推出二
元柯西不等式.
（2）?a?b??a4?b4?2?a2?ab?b2?
42（3）?n?1??n2??n?1??n2??n2?n?1?
222（4）a4?b4?c4?d4?4abcd??a2?b2???c2?d2??2?ab?cd?
222该恒等式可以推出四元的均值不等式. （5）x?x?1??x?2??x?3??1??x2?3x?1?
2该恒等式可以说明连续四个正整数的积不是完全平方数. （6）?a?b???b?c???c?a??2223212a?b2?c2???a?b?c? ?22一个求最值问题的变形，奥精上有这道题，去年某区初赛考了它的推广形式. （7）n4?4k4??n2?2nk?2k2??n2?2nk?2k2?
双二次式的因式分解，配方法和平方差结合的典例，类似的方法可以证明对于一
切整数n?1，4n4?1及n4?4都是合数，前者被称为哥德巴赫定理（Goldbach，1690--1764），后者被称为吉梅茵（Germain，1776--1831）定理
【2】
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当然，4这个系数还可以改为64、324、1024等具有形式4t4的数。