2015全国卷1数学试卷及答案(理科)

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2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(全国卷Ⅰ)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷2至6页。

第Ⅰ卷

一. 选择题:本大题共12小题。

(1)设复数z满足1+z1?z=i,则|z|=

(A)1 (B)2 (C)3 (D)2 (2)sin20?cos10??cos160?sin10??

(A)?32 (B)32 (C)?12 (D)12

(3)设命题P:?n?N,n2>2n,则?P为

(A)?n?N, n2>2n (B)? n?N, n2≤2n (C)?n?N, n2≤2n (D)? n?N, n2=2n

(4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312

(5)已知M(x0x2,y0)是双曲线C:2?y2?1 上的一点,F1、F2是C上的两个焦点,

若uMFuuuur1?uMFuuuur2<0,则y0的取值范围是

(A)(-

33,33)(B)(-33222223236,6)(C)(?3,3) (D)(?3,3)

(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

(7)设D为错误!未找到引用源。ABC所在平面内一点

BC??3BC?,则

(A)AD???13AB??43AC? 错误!未找到引用源。

(B)AD??1?4?3AB?3AC

(C)AD??43AB??13AC? (D)AD??4?1?3AB?3AC

(8)函数f(x)=错误!未找到引用源。的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为

'.

.

(A)(k??14,k??34),k?Z (B)(2k??14,2k??34),k?Z

(C)(k?14,k?34),k?Z (D)(2k?134,2k?4),k?Z

(9)执行右面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

(10)错误!未找到引用源。(x2?x?y)5的展开式中,x5y2的系数为

(A)10 (B)20 (C)30 (D)60

(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20?,则r=

(A)1 (B)2 (C)4 (D)8

12.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)0,则a的取值范围是( ) A.????32e,1? B.????32e,3?4?? C.??33??3?2e,4?? D. ??2e,1? 第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共3小题,每小题5分

(13)若函数f(x)?xln(x?a?x2)为偶函数,则a= (14)一个圆经过椭圆x2y216?4?1错误!未找到引用源。的三个顶点,且圆心在x轴上,则该圆的标准方程为 。

?x?1?0(15)若x,y满足约束条件??x?y?0错误!未找到引用源。则错误!未找到引用源。

x??x?y?4?0y'.

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的最大值为 . (16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是 .

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分12分)

Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,an?2an?4Sn?3错误!未找到引用源。 (Ⅰ)求{an}的通项公式,

(Ⅱ)设b1n?a错误!未找到引用源。 ,求数列?bn?错误!未找到引用源。}的前n项

nan?1和。

(18)如图,,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。 (1)证明:平面AEC⊥平面AFC

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值

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