作业一：统计试验法解决报童问题
1.问题提出
报童问题是决策方面的一个简单例子。对一个报童来说，他每天由报社买来报纸，然后到街上去卖，当然他希望获得最大的利润。如果把报童问题看作一个系统，那么报纸、顾客、报童和利润就成了该系统的重要组成部分。问题在于，根据市场需求，报童寻求一个什么样的定货法则或策略才能使他所获得的利润最大。因为定货多了，如果市场需求小，卖不了将导致利润下降，甚至亏本；定货少了，如果市场需求量大，又失去了赚钱的机会。这样一来，定货法则或定货策略就成了报童能否赚取最大利润的关键。当然，最好是每天需要多少份就定多少份，但市场需求量是一个随机变量，这就需要每天用统计方法作出决策。
报童以每份0.5元的价格买进报纸，以0.8元的价格出售。根据长期统计，报童根据以前的卖报记录知道，每天的需求量有几种可能及出现的概率。对现有数据分析，得出报童每天最佳买进报纸量，使报童的平均总收入最大。
2.模型建立与求解
假定， Bn— 当天买进或订购的报纸数量
Sn— 当天社会需要报纸的数量，显然，它是一个随机变量 Dn— 当天卖掉的报纸数量
再假定，报童每天买进和卖出每份报纸的价格分别用 PB和PS表示，且 PS>PB，即卖出价大于买入价，则第 n 天的利润为
Pn=SnPS-BnPB
报童决定：当天订购报纸的数量等于前一天的市场需求量，即
Bn=Dn-1
而当天卖掉的报纸的数量n S 则由以下两个条件来决定
Dn ≤ Bn时，Sn=Dn Dn> Bn时，Sn=Bn
即是说，如果当天订购的报纸的数量大于需求量，当天卖掉的报纸的数量只能等于需求量；如果当天买的报纸的数量小于需求量，即当天卖掉的报纸的数量
等于当天订购量和当天需求量二者中的小者。
现在的问题是，前一天的需求量如何决定。报童决定利用过去一年的统计数字确定Dn-1。报童根据以前的卖报记录知道，每天的需求量有以下几种可能：40份，41份，42份，43份，44份， 45份，46份；并且统计出了相对频数，得到如右表的一组数据。
需求量Dn 相对频数 Pn 40 0.05 41 0.1 42 0.2 43 0.3 44 0.15 45 46 0.1 0.1 其需求量的平均值Dn=∑ i Pi=43. 10
最后，报童做了一个轮盘，并将其分成了七份，每份的大小分别等于每个需求量对应的频数，即需求量分别为40，41，…,46份报纸时,其轮盘上对应的面积分别为0.05,0.1,…,0.1类推。
这样，报童每天去订货之前转一次轮盘，指针所指的数量就作为前一天的需求量Dn-1。假定，第一天转了一次，Dn-1=45，即D0=45。作为第二天买报的依据；第二天又转了一次，D1 =44表示当天需求量，说明这一天订购44份，由于Bn>Dn，所以只卖掉44份，即Sn=Dn。……第六天又转了一次， D5 =41表示当天的需求量，说明这一天订购40份，由于Bn 3.实验结果 报童问题的10天的仿真结果 Sn 44 43 44 40 40 41 Pn 12.7 12.4 12.1 11.0 12.0 12.3 ∑Pn 12.7 25.1 37.2 48.2 60.2 72.5 41 41 42 43 11.3 12.3 12.6 11.4 83.8 96.1 108.7 120.1 表采用不同的决策准则时报童所获得的利润 N0 1 2 3 17天的利润 208.3元 207.0元 209.7元 100天的利润 1215.3元 1223.8元 1242.8元 500天的利润 6122.1元 6159.8元 6234.8元 报童使用的决策规则 Bn=Dn-1 Bn=（Dn-1+Dn-2)/2 Bn= 43 B1=D0 4 209.8元 1241.1元 6235.4元 B2=(D0+D1)/2 Bn=(D0+D1+…+Dn-1)]/n 说明： Bn-每天买入的报纸数量 Dn-每天社会的需求量 PB-每份报纸的买入价 Ps-每份报纸的卖出价 过去累计的需求量及相应的概率： 40 41 42 43 44 45 46 0.05 0.10 0.20 0.30 0.15 0.10 0.10 附录程序 #include #define N 17 //天数 #define Ps 0.8 //卖出价 #define Pb 0.5 //进货价 int random() { int Dn; float temp; temp=rand()*100/(float)RAND_MAX; if(temp<5) Dn=40; else if(temp<15) Dn=41; else if(temp<35) Dn=42; else if(temp<65) Dn=43; else if(temp<80) Dn=44; else if(temp<90) Dn=45; else Dn=46; return Dn; } void main() { int D[N+1],B[N+1],S[N+1]; int i; double P[N+1]; double pn=0; int j; int a=0; printf(\ B S P pn\\n\ for(i=0; i<=N; i++) { D[i]=random(); } for(i=0; i<=N; i++) { D[i]=random(); /***1*****Bn=Dn-1***************/ // if(i!=N) B[i+1]=D[i]; /***2***Bn= （Dn-1+Dn-2)/2*********/ /* if(i==0)B[i+1]=D[i]; if(i!=N) B[i+2]=(D[i]+D[i+1])/2;*/ /***3****** Bn= 43**************/ // B[i]=43; /***4****Bn=(D0+D1+…+Dn-1)]/n ***/ for(j=0,a=0;j if(i!=0) B[i]=a/i; ///////////////////////////////////////////////// if(D[i] if(i!=0) { P[i]=S[i]*Ps-B[i]*Pb; pn+=P[i]; printf(\ %d %d %.1f %.1f\\n\ } } 作业二：产生独立分布随机数和相关分布随机数 1．（0-1）之间的均匀分布： 概率密度函数： ?10?x?1P(x)??其他； ?0产生思想：采用乘同余法产生； 具体实现方法：xn+1=uxn(mod n)； 参数：u一般取2a±3或5，a为正整数；x0为初始值一般取2b+1，b取正整数； m一般取计算机的字长，其是控制所产生随机数的精度（即：小数点后的位数）； 程序实现中取u=11，m=2^32，x0的取值是3，计算10000点随机数。 程序如下： c=3; u=11; x(1)=3; M=2^32 for i=2：1：10000; x(i)=mod(u *x(i-1)+c,M); end; x=x./M; e=mean(x); d=var(x); hist(x,20); title('（0-1）均匀分布直方图'); text(0,-60,strcat('均值是',num2str(e))); text(0.5,-60,strcat('方差是',num2str(d))); 3 运行结果如下：