解：（1）∵y=mx2+4mx﹣5m，
∴y=m（x2+4x﹣5）=m（x+5）（x﹣1）． 令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0， ∵m≠0， ∴x=﹣5或x=1．
∴A（﹣5，0）、B（1，0）． ∴抛物线的对称轴为x=﹣2． ∵抛物线的顶点坐标为为6∴﹣9m=6∴m=﹣
． ．
x2﹣
x+
．
，
∴抛物线的解析式为y=﹣
（2）由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）． （3）如图所示： ∵OP的解析式为y=∴∠AOP=30°． ∴∠PBF=60°
∵PD⊥PF，FO⊥OD， ∴∠DPF=∠FOD=90°． ∴∠DPF+∠FOD=180°． ∴点O、D、P、F共圆． ∴∠PDF=∠PBF． ∴∠PDF=60°．
x，
4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，
点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；
（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO= 5 ，PH= 5 ，由此发现，PO = PH（填“＞”、“＜”或“=”）；
②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：∵抛物线y=ax+1经过点A（4，﹣3）， ∴﹣3=16a+1， ∴a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+1，顶点B（0，1）． （2）①当P点运动到A点处时，∵PO=5，PH=5， ∴PO=PH，
故答案分别为5，5，=． ②结论：PO=PH．
理由：设点P坐标（m，﹣ m+1）， ∵PH=2﹣（﹣m2+1）=m2+1 PO=∴PO=PH． （3）∵BC=∴BC=AC， ∵PO=PH，
又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似， ∴PH与BC，PO与AC是对应边， ∴
=
，设点P（m，﹣ m2+1），
=
，AC=
=
，AB=
=4
=m+1，
22
2
∴=，
解得m=±1，
∴点P坐标（1，）或（﹣1，）．
5．已知：如图，在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC 于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm， ∴AC=10，
①当AP=PO=t，如图1， 过P作PM⊥AO，
∴AM=AO=，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ADC， ∴∴AP=t=
， ，
②当AP=AO=t=5， ∴当t为
（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G， 在△APO与△CEO中，
，
∴△AOP≌△COE， ∴CE=AP=t， ∵△CEH∽△ABC， ∴∴EH=∵DN=
， ，
=
，
或5时，△AOP是等腰三角形；
∵QM∥DN， ∴△CQM∽△CDN， ∴
，即
，
∴QM=∴DG=
﹣
，
=
，
∵FQ∥AC， ∴△DFQ∽△DOC， ∴∴FQ=
， ，