小专题(五) 函数中的决策问题
要解决二次函数模型作决策的问题必须做到两点:一是建模,它是解答应用题的最关键的步骤,即在阅读材料,理解题意的基础上,把实际问题的本质抽象转化为数学问题,从而根据题意建立二次函数模型;二是解模,即运用所学的知识和方法对数学模型进行分析、运算,解答纯数学问题,最后检验所得的解,写出实际问题的结论.
类型1 利润问题中的决策
1.某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台,空调的采购单价y1(元/台)与采购数量x1(台)满足y1=-20x1+1500(0 x2(台)满足y2=-10x2+1300(0 (1)经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的倍,且空调采购单价不低于1200元,问该商家共有几种进货方案? (2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完,在(1)的条件下,问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润. 解:(1)由题意可知,空调的采购数量为x1台,则冰箱的采购数量为(20-x1)台, 由题意,得解得11≤x1≤15. ∵x1为整数,∴x1可取的值为11,12,13,14,15. ∴该商家共有5种进货方案. (2)设总利润为W元,y2=-10x2+1300=-10(20-x1)+1300=10x1+1100,则 W=(1760-y1)x1+(1700-y2)x2=1760x1-(-20x1+1500)x1+(1700-10x1-1100)(20-x1)=1760x1+20-1 500x1+10-800x1+12000=30-540x1+12000=30(x1-9)+9570.当x1>9时,W随x1的增大而增大,∵11≤x1≤15,∴当x1=15时,W最大值=30×(15-9)+9570=10650. 答:采购空调15台时总利润最大,最大利润为10650元. 2 2 2.某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时,销售量为32本. (1)请直接写出y与x的函数解析式. (2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少? 解:(1)设y=kx+b, 把(22,36)与(24,32)代入得 解得则y=-2x+80. (2)由题意可得w=(x-20)(-2x+80)=-2x+120x-1600=-2(x-30)+200(20≤x≤28), 又∵x<30时,y随x的增大而增大, 2 2 ∴当x=28时,w最大=-2×(28-30)2+200=192(元). 类型2 几何问题中的决策 3.如图,△ABC是边长为3 cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,BC方向匀速移动,它们的速度都是1 cm/s,当点P运动到B点时,P,Q两点停止运动,设P点运动时间为t(s). 2 2 (1)当t为何值时,△PBQ是直角三角形? (2)设四边形APQC的面积为y(cm),求y关于t的函数解析式,当t取何值时,四边形APQC的面积最小?并求出最小值. 解:(1)由题意可知,∠B=60°,BP=(3-t) cm,BQ=t cm. 若△PBQ是直角三角形,则∠BPQ=30°或∠BQP=30°,于是BQ=BP或BP=BQ. 即t=(3-t)或3-t=t,解得t=1或t=2, 即当t为1 s或2 s时,△PBQ是直角三角形. (2)过点P作PM⊥BC于点M,则易知BM=BP=(3-t) cm,∴PM=(3-t). 2 ∴S四边形APQC=S△ABC-S△PBQ=×3×t·(3-t)=t2-t+,即y=t2-t+,易知0 4.如图,把一张长10 cm,宽8 cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计),从美观的角度考虑要求底面的短边与长边的比不小于,设四周小正方形的边长为x cm. (1)求盒子的侧面积S侧与x的函数解析式,并求x的取值范围; (2)求当正方形的边长x为何值时侧面积S侧有最大值; (3)若要求侧面积不小于28 cm,直接写出正方形的边长x的取值范围. 2 解:(1)由题意,得S侧=2(10-2x)x+2(8-2x)x,S侧=-8x+36x. 因为,所以x≤2. 3 2