[A 基础达标]
1．给出下列三个类比结论：
①类比ax·ay＝axy，则有ax÷ay＝axy；
②类比loga(xy)＝logax＋logay，则有sin(α＋β)＝sin αsinβ； ③类比(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，则有(xy)z＝x(yz)． 其中结论正确的个数是( ) A．0 C．2
－
＋
－
B．1 D．3
解析：选C.根据指数的运算法则知ax÷ay＝axy，故①正确；根据三角函数的运算法则知：sin(α＋β)≠sin αsinβ，②不正确；根据乘法结合律知：(xy)z＝x(yz)，③正确．
2．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )
A．一条中线上的点，但不是中心 B．一条垂线上的点，但不是垂心 C．一条角平分线上的点，但不是内心 D．中心
解析：选D.由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．
3．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则
AG
＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A-BCD中，若△BCDGD
AO
的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则＝( )
OM
A．1 C．3
B．2 D．4
AGAO
解析：选C.面的重心类比几何体重心，平面类比空间，＝2类比＝3，故选C.
GDOM4．类比三角形中的性质：
(1)中位线长等于对应底边长的一半． (2)三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：
1
(1)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的.
4(2)四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的为( ) A．(1)
B．(2)
C．(1)(2) D．都不对
解析：选C.以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．
5．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·…·b9＝29，若{an}为等差数列，a5＝2，则在数列{an}中类似的结论为( )
A．a1·a2·…·a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29 C．a1·a2·…·a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：选D.由等差数列的性质知：a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.
6．我们知道：在周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；在周长一定的矩形和圆中，圆的面积最大．将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________________________.
解析：平面图形的周长类比到空间应该是空间图形的表面积；平面图形的面积类比到空间应该是空间图形的体积；平面中的矩形、圆类比到空间中的图形应该是长方体、球．
答案：在表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；在表面积一定的长方体和球中，球的体积最大
7．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示________．
解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．
答案：过原点的平面
8．类比平面几何中的三角形中的有关定理：△ABC中，若DE∥BC，则有S△ADE∶S△ABC
＝DE2∶BC2.若三棱锥A-BCD中有截面EFG∥面BCD，则截得三棱锥的体积与原来三棱锥的体积之间的关系式为：________________________．
解析：由平面几何类比到立体几何，对应于二维空间类比三维空间，由面积比为相似比的平方类比到体积比为相似比的立方．
答案：VA-EFG∶VA-BCD＝EF3∶BC3
9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中： (1)三角形两边之和大于第三边． 1
(2)三角形的面积S＝×底×高．
2
1
(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的. 2
…
请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．
解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积． 1
(2)四面体的体积V＝×底面积×高．
3
1
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.
4
2＋a2a1a1＋a2?22?10．若a1，a2∈(0，＋∞)，则有不等式≥2?2?成立．类比此不等式，从所含
未知数个数上进行推广，写出相应的不等式．
解：相应的不等式为：
22
a2a1＋a2＋a3?21＋a2＋a3?≥
33??， 222
a2a1＋a2＋a3＋a4?21＋a2＋a3＋a4?≥
44??，
…
22a2a1＋a2＋…＋an?21＋a2＋…＋an?≥nn??(n∈N＋)．
[B 能力提升]
→→
11. 如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为
5－1
，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可2
推算出“黄金双曲线”的离心率e＝( )
A.
5＋1
2
B.
5－1
2
C.5－1 D.5＋1
解析：选A.在“黄金双曲线”中，B(0，b)，F(－c，0)，A(a，0)． →→→→
因为FB⊥AB，所以FB·AB＝0. 所以b2＝ac.而b2＝c2－a2，
所以c2－a2＝ac.在等号两边同除以a2得e2－e－1＝0，又e＞1， 所以e＝
5＋1
. 2
→→→→
12．对于命题“如果O是线段AB上一点，则|OB|·OA＋|OA|·OB＝0”将它类比到平→→→
面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·OA＋S△OCA·OB＋S△OBA·OC＝0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有_______________________．