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第二十一章“一元二次方程”简介
课程教材研究所 章建跃
一元二次方程是刻画数量关系的重要数学模型。一元二次方程的解法和实际 应用是初中阶段的核心内容。前面已经学习了一元一次方程、二元一次方程组以及分式方程等，本章学习一元二次方程的解法，讨论与方程的根有关的几个基本问题（判别式与方程的根、根与系数的关系等），在此基础上学习利用一元二次方程模型解决简单的实际问题。本章的学习将为后续的勾股定理、二次函数等打下学习基础，在学生的“四基”、“四能”的发展，特别是在运算能力、推理能力、模型思想和应用意识的培养上可以发挥较大作用。
本章教学时间约需13课时，具体分配如下（仅供参考）： 21．1 一元二次方程 1课时 21．2 解一元二次方程 7课时 21．3 实际问题与一元二次方程 3课时 数学活动
小结 2课时 一、教科书内容和本章学习目标 1.本章知识结构
现实生活中，许多问题中的数量关系可以抽象为一元二次方程。因此，从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看，从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。
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学生已经学习一元一次方程的解法和实际应用，知道可以利用运算律、等式的基本性质，通过去括号、移项、合并同类项等求出它的解。学生还学过二元一次方程组以及三元一次方程组的解法和实际应用，知道可以通过消元，将它们转化为一元一次方程。从数学知识的内部发展看，二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元”上的推广。自然地，如果在次数上做推广，首先就是一元二次方程。类比二（三）元一次方程组的解法，可以想到：能否将一元二次方程转化为一元一次方程？如何转化？因此，利用什么方法将“二次”降为“一次”，这是本章学习的另一条主线。
与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知识，可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法，对方程进行求解。这是培养学生的思维品质，特别是思维的敏捷性、灵活性、深刻性的机会。根据《课程标准（2011年版）》的规定，教科书着重介绍了配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定解数字系数的一元二次方程。
解一元二次方程的基本策略是降次，即通过配方、因式分解等，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。具体地，根据平方根的意义，可得出方程x2=p和(x+n)2=p的解法；通过配方，可将一元二次方程转化为(x+n)2=p的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是对方程ax2+bx+c=0配方后得出的．如能将ax2+bx+c分解为两个一次因式的乘积，则可令每个因式为0来解．
一元二次方程的三种解法——配方法、公式法和因式分解法各有特点．一般地，配方法是推导一元二次方程求根公式的工具．掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的根了．当然，也要根据方程的具体特点，选择适当的解法，因式分解法就显示了这样的灵活性．配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法，如后面研究二次函数时也要用到它．在推导求根公式的过程中，从x2=p到(x+n)2=p再到ax2+bx+c=0，是方程形式的不断推广，体现了从特殊到一般的过程；而求解方程的过程则是将推广所得的方程转化为已经会解的方程，体现了化归思想。显然，这个过程对于培养学生的推理能力、运算能力等都是很有作用的。
与《课程标准（实验稿）》相比，《课程标准（2011年版）》重新强调了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系的重要性，要求“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等”，“了解一元二次
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方程的根与系数的关系”，这是需要注意的一个变化。这里不仅是为了一元二次方程理论的完整性，更重要的是为了解决初高中衔接问题。实际上，一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系在高中数学中有着广泛的应用，是学习高中数学的必备基础。
教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节中又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思考这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念。在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一般形式ax2+bx+c=0也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的规定是由“二次”所要求的，这实际上也是从不同侧面理解一元二次方程概念的契机。
一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法等，是全章的重点内容之一。教科书在第二节中，首先通过实际问题，建立了一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为x2=p，通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基。接着，教科书安排“探究”栏目，自然引出解(x+3)2=5并总结出“降次”的策略，从而为用配方法解比较复杂的一元二次方程做好铺垫，然后教科书重点讲解了配方的步骤，并归纳出通过配方将一元二次方程转化为(x+n)2=p后的解的情况。以配方法为基础，教科书安排了“探究”栏目，引导学生自主地用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，得到求根公式。最后，通过实际问题，获得一个显然可以用“提取公因式法”而达到“降次”目的的方程，从而引出因式分解法解一元二次方程，并在“归纳”栏目中总结出几种解法的基本思路、各自特点和适用范围等。上述过程的思路自然，体现了从简单的、特殊的问题出发，通过逐步推广而获得复杂的、一般的问题，并通过将一般性问题化归为特殊问题，获得这一类问题的解。这是具有普适性的数学思想方法。
由于限定在实数范围，因此对求根公式，首先要关注判别
式Δ=b2－4ac的讨论。这是使学生领悟分类讨论数学思想方法的契机。另一方面，求根公式不仅直接反映了方程的根由系数唯一确定（系数a，b，c确定，方程就
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