难点16 三角函数式的化简与求值
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.
●难点磁场
(★★★★★)已知_________.
●案例探究
?2＜β＜α＜
3?123,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值4513［例1］不查表求sin220°+cos280°+3cos20°cos80°的值.
命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较
高.属于★★★★级题目.
知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.
技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.
解法一：sin220°+cos280°+3sin220°cos80°=
11 (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°2211=1－cos40°+cos160°+3sin20°cos(60°+20°)
2211=1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－
22sin60°sin20°)
=1－
33113cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220°
44242331=1－cos40°－(1－cos40°)=
444解法二：设x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°y=cos220°+sin280°－3cos20°sin80°，则x+y=1+1－3sin60°=
1，x－y=－cos40°+cos160°+3sin100°2=－2sin100°sin60°+3sin100°=0∴x=y=
11，即x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°=.44［例2］设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=a值，并对此时的a值求y的最大值.
1的2命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目
知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.
错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.
技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.
a2a2?4a?2解：由y=2(cosx－)－及cosx∈［－1，1］得：
22 (a??2)?1 ?2?af(a)???2a?1 (?2?a?2)
2?1?4a (a?2)??∵f(a)=
111,∴1－4a=?a=?［2,+∞)228a21故－－2a－1=，解得：a=－1，此时，
2211y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5.
22［例3］已知函数f(x)=2cosxsin(x+
?3)－3sin2x+sinxcosx
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；(3)若当x∈［
?12，
7?－－
］时，f(x)的反函数为f1(x)，求f-1(1)的值.12命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.
知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.
－
错解分析：在求f-1(1)的值时易走弯路.技巧与方法：等价转化，逆向思维.
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