概率统计习题

习题解答

第一章

1.P(AB)?p?q?r,P(AB)?r?q,P(AB)?r?p,P(AB)?1?r

11,P(A|B)? 3151394.(1);(2);(3)

5510nN?1mN5. ???n?mN?M?1n?mN?M?13.P(B|A)?

6.设A=“收音机不受干扰”,记x,y为两信号进入收音机的时刻。于是,样本空间为:

??{(x,y)0?x?5,0?y?5},有利于事件A的区域为:

g?{(x,y)x?y?0.5},L(?)?52,L(g)?4.52,P(A)?4.52/52?0.81

7.设A=“一船要等待空出码头”。记甲、乙两船一昼夜内到达码头的时刻分别为x,y,于是:??{(x,y)0?x?24,0?y?24},L(?)?24

有利于A的区域为g?{(x,y)|y?x?1,x?y?2},L(g)?24?22/2?23/2

2222P(A)?0.1207

8.总设A=“甲系统有效”,B=“乙系统有效”

则P(A)?0.92,P(B)?0.93,P(BA)?0.15,?P(A?B)?0.988,P(AB)?0.1714 9.P(A|B)?P(AB)/P(B)?7/12,P(A?B)?1/3

10.设D,C为木棍OB的两个分点,且记OD?x,DC?y,于是

BC?l?x?y,PC?l/2,A?{OD,DC,CB能构成三角形},于是,样本空间为:??{(x,y)|0?x?l,0?y?l,l/2?x?y?l},L(?)?3l2/8

g?{(x,y)|x?y?l?x?y,x?l?x?y?y,y?l?x?y?x},L(g)?l2/8P(A)?L(g)/L(?)?1/3

11.设Cj?“第j人射击命中飞机”,j?1(甲),2(乙),3(丙);

Ai=“恰有i人命中”i?1,2,3;B=“飞机坠毁”。

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.3232,P(A2|B)?0.288?0.6/0.3232?0.5347

i?0312.设Ai=“第i门炮击中飞机”,i?1,2,?,9;A=“飞机被击中”,

P(Ai)?0.6,P(A)?1?(1?0.6)9?0.9997,1?0.4n?0.99,n?5.03

故至少应有6门炮同时射击才能有99%以上的把握击中飞机。

13.本题原是p?1/365的4745重贝努里试验,在??np?13的转换下,将使用泊松分布近似地完成计算。(1)P(A)?0.0027,P(B)?0.999 14.由题设可知,4个发动机下,飞机成功飞行的概率为:

223344C4p(1?p)2?C4p(1?p)?C4p,题设在2个发动机下,飞机成功飞行的概率为:122C2p(1?p)?C2p,?(p?1)2(3p?2)?0,p?2/3

这就是说,当每个发动机不发生故障的概率不小于2/3时,4个发动机更为保险些。否则,当p?2/3时,2个发动机更保险些。 15.P(A?B?C)?0.625

16.设A=“甲市为雨天”,B=“乙市为雨天”。

于是,由题设可知:P(A)?0.12,P(B)?0.09,P(A?B)?0.168

P(AB)?0.042,P(B|A)?0.35,P(A|B)?0.9143

257225717.P(A)?(26?10)/36?0.0009,P(B)?(C726?10)/36?0.0181

18.(1)采用三局两胜制。设A1=“甲净胜二局”,A2=“前两局甲、乙各胜一局,第三局甲胜”,A=“甲胜”,则A?A1?A2,P(A1)?0.36,P(A2)?0.288 由于A1与A2互斥,所以,P(A)?0.36?0.288?0.648

(2)采用五局三胜制。设B=“甲胜”,B1=“前三局甲胜”,B2=“前三局中甲胜两局,乙胜一局,第四局甲胜”, “前四局中甲、乙各胜两局,第五局甲胜”,则B1,B2,B3互不相容,且B?B1+B2+B3

P(B)?0.216?0.259?0.207?0.682

所以,采用五局三胜制时甲胜的概率,要大于采用三局两胜制时甲胜的概率,所以,采用五局三胜制对甲更有利。

19.设A={圆O与任一平行线不相交}。选择与圆O紧靠的三条直线l1,l2,l3作为来考察。这样,样本空间S由垂直于诸平行线的线段EF构成。有

L(S)?8?1.5?9.5,有L(g)?8?2?2.5?3,P(A)?3/9.5?0.3158

20.设A={甲、乙两人能会到面}

L(S)?602,L(g)?602?(60?10)2,P(A)?11/36?0.3056

21.设A={小针与平行线之一相交}

?L(S)?a?/2,L(g)??01lsin?d??l,P(A)?2l/a? 222.证明:P(AB)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(A)P(B)?P(A)[1?P(B)]

?P(A)P(B),?A,B相互独立。其它类似(略)。

23.设B=“掷五枚硬币至少出现两个正面”,Ai(i?0,1,?,5)=“掷五枚硬币刚好出现i个正面”,则有B?A2?A3?A4?A5;A2,A3,A4,A5是互不相容的,

P(A3|B)?3C535C52?C5?C54?C53?5 1324.样本空间样本点总数是n?6,设A=“掷三颗骰子出现点数没有相同的”,则A包含

3A6?6?5?4个样本点,则P(A)?3A663,设B=“掷三颗骰子出现点数至少有一个是一点”,

则B=“掷三颗骰子出现点数没有一点的”,AB=“掷三颗骰子出现点数不同而且没有一点的”,则P(AB)?3A563,P(B|A)?1?P(B|A)?0.5

1; 21(2)由于A?B,而且BA?B?A,P(AB)?P(B?A)?P(B)?P(A)?;

63(3)因为AB,AB互斥,P(AB)?P(B)?P(AB)?

825.(1)由于A与B互斥,故B?A,B?BA?AB,P(AB)?P(B)?26.将3个球放入4个杯子中,总共有4种放法,故样本空间所含基本事件总数为4,设

33Bi(i?1,2,3)=“杯子中数最大值为i”,所以

113C32C4C3C4?(3!)6941P(B1)??,P(B)??,P(B)?? 2316164343431627.“从12个球中任取2个”包含C12个基本事件,设A?“从12个球中任取2个均为白球”,B?“从12个球中任取2个其中一个是白的,另一个是黑的”,

C?“至少有一个是黑球”

2P(A)?C822C1211C8C141619?,P(B)?24?,P(C)?1?P(C)?1?P(A)? 333333C1228.基本事件总数是10!设A?“指定的5本书排在一起”

P(A)?5!6!1? 10!421530,P(A)? 707029.设A?“碰到甲班同学”,B?“碰到女同学”则:P(AB)?P(BA)?0.5

30.设B?“取到产品为正品”A1=“取得甲厂的产品”A2?“取得乙厂的产品”

A3=“取得丙厂的产品”则A1,A2,A3构成完备事件组,由全概率公式得:

P(B)?0.82

31.设A1=“任取一螺钉是甲车间生产的”A2?“任取一螺钉是乙车间生产的”

A3=“任取一螺钉是丙车间生产的”则A1,A2,A3构成完备事件组,设B?“任取一螺钉为

次品”,由贝叶斯公式得:

252816,P(A2B)=,P(A3B)= 69696932.设B?“取3件产品至少有1件次品”则有

P(A1B)=

P(B)?1?P(B)?1?3C90C3100?0.2735

33.设A?“数学不及格”,B?“物理不及格”,C?“化学不及格”则有

P(A?B?C)?0.16,P(A?B?C)?0.84,全及格人数为84人

34.设A1=“取出的零件是由机器甲加工的”A2?“取出的零件是由机器乙加工的”,则

A1,A2构成完备事件组,设B?“取出的零件是次品”,则有

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