现代数字信号处理学习报告（一）
第一部分 维纳滤波
1.1 最优滤波和最有准则
1.1.1最优滤波
信号处理的目的是从噪声中提取信号，得到不受干扰影响的真正信号。采用的处理系统称为滤波器。为了从x(n)中提取或恢复原始信号s(n)，需要设计一种滤波器，对x(n)进行滤波，使它的输出y(n)尽
?。这种滤波器称可能逼近s(n)，成为s(n)的最佳估计，即y(n)?s(n)为最佳滤波器。 1.1.2最优准则
最大输出信噪比准则－>匹配滤波器
2最小均方误差准则 E[|e(n)|] min误差绝对值的期望值最小 E[|e(n)|]min
kE[|e(n)|]min误差绝对值的三次或高次幂的期望值最小
1.2 维纳滤波
维纳滤波（wiener filtering) 是一种基于最小均方误差准则、对平稳过程的最优估计器。这种滤波器的输出与期望输出之间的均方误差为最小，因此，它是一个最佳滤波系统。它可用于提取被平稳噪声所污染的信号。
1.3 维纳滤波的标准方程
维纳滤波器是一个线性非移变系统，设其冲激响应为h(m)，输入
?(n)??h(m)x(n?m)。式中，冲激响为x(n)?s(n)??(n)，则有y(n)?sm?0?2E[|e(n)|]min应h(m)按最小均方误差准则确定，其中， e(n)表示真值与
?(n)。 估计值之间的误差，则e(n)?s(n)?s2???最小的s?s为了达到最小均方误差准则的目标，即求得使E????2???对hi的导数为零，即 s?shi，令E?????Ee(n)?h(i)?2??2E?e(n)?e(n)???2E?e(n)x(n?i)??0
???h(i)??由此得到，E?e(n)x(n?i)??0,?i。此式说明，若使滤波器的均方误差达到，则误差信号与输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。
s ? e?s?sx1 w1x1 0 w2x2 ? s x2
正交性原理的重要意义：提供了一个数学方法，用以判断线性滤波系统是否工作于最佳状态。
正交性原理的引理：最佳状态时，由滤波器输出定义的期望响应的估计yopt(n)与估计误差eopt(n)正交。
?????将正交方程展开，E??s(n)??h0pt(m)x(n?m)?x(n?k)??0 k?0，把
m?-?????输入信号分配进去，得到?sx(k)?m?-??h?opt(m)?xx(k?m), k?0，该方程即
为维纳滤波器的标准方程或维纳-霍夫（Wiener-Hopf）方程。
1.4 FIR维纳滤波器
设h(n)是一个因果序列可以用有限长(长度为N)的序列去逼近它
N??(n)??h(m)x(n?m)???y(n)?s?E??s?m?0???i?1N??(n)??hixis?i?1?Eexi?0N?1?????xi??0, i?1, 2, ?, N??hixi??????
?hN?x1xN??x1s把i的值代入方程组，则得到
i?1 h1?x1x1?h2?x1x2???i?2 h1?x2x1?h2?x2x2??hN?x2xN??x2s??
?i?N h1?xNx1?h2?xNx2??hN?xNxN??xNs?? N ??x1x1 ? x1x2 ?? x ??x1s?x1?h1??????h??? ? ? x2x1x2x2?x?x2s?Nx2??定义 ?h???2? ??xx??? ??xs? ?? ? ? ? ?????? ? xN?X2 ? xN NX ????hN???2NX1???xNs??则得到方程组的矩阵形式为??xx??h????xs?。对这个式子求逆，得
?h???h?0pt???xx???xs?
在所有FIR滤波器中，最优滤波器的均方误差值是最小的，从这个意义上说，它是最优的。滤波器的阶数越高，采用的已知信息就越多，它的最小均方误差就越小，但相应的计算量也越大。
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