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非结构网格的有限体积法研究
作者:张海军 李雪
来源:《科教导刊·电子版》2017年第24期
摘 要 基于双曲守恒律方程,详细阐述了非结构三角形网格的有限体积方法。在该方法中,通过运用数值流函数来近似计算线积分,并且详细介绍了常见的三种数值流函数。时间的离散采用三阶TVD Runge-Kutta方法。
关键词 有限体积法 非结构网格 数值流函数 龙格-库塔法 中图分类号:V211 文献标识码:A 0 引言
有限体积方法可以认为是有限元法和有限差分法的结合,所以有限体积法吸取了有限元网格剖分灵活的优点,克服了差分法网格适应性差的缺点。二十世纪八十年代以来,由于非结构网格的发展,有限体积法取得了很大的进步,为双曲型守恒律方程的发展提供了很大的空间。因此,非结构网格下的有限体积法已经成为数值模拟复杂、高速流动的重要方法。 1 格式的构造 1.1 空间离散
对于二维标量双曲守恒律方程
对计算区域采用规则的三角形网格剖分,以三角形单元本身作为控制体,对上式在三角形单元A上积分得: 利用Green公式得:
其中是U在三角形A的网格平均值,是三角形A的面积,是三角形A的第k条边,是第k条边对应的外法向量。定义,且定义外法向量的模长为对应边的长度,用中矩形公式近似上式中的积分可得: 。
其中表示第k条边的中点,表示与三角形A的第k条边共边的三角形对应边的重构函数,为数值流函数。
1.2 数值流函数的近似
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数值流函数是近似,常用的有三种形式: 第一种形式为算术平均形式: ;
第二种形式为Lax-Friendrich数值流函数: ;
其中是Jacobian矩阵的复合线性函数。 第三种形式为Roe的Riemann解算子, 。
1.3 时间离散
在有限体积法的构造中,人们习惯对时间和空间分别进行处理,时间方向的离散一般采用文献[3]中的TVD Runge-Kutta方法。 2 结语
在非结构的三角形网格下,详细描述了双曲守恒律方程的有限体积方法,通过运用数值流函数来近似计算积分。时间的离散用三阶TVD Runge-Kutta方法表达式。 参考文献
[1] 赵延生.非结构网格的ENO有限体积方法研究[D].长沙:国防科学技术大学研究生院, 2004,1-52.
[2] 朱华君.二维浅水波方程的高阶有限体积格式[D].长沙:国防科学技术大学研究生院, 2006,1-54.
[3] Fjordholm U, Mishra S, Tadmor E. Energy preserving and energy stable schemes for the shallow water equations[C].2009,93-139.