三边关系 勾股定理 a2?b2?c2?C为直角 正弦 sin?? 余弦 cos?? 直斜边边角关系 角??的对边三 正切 tan?? ??的邻边角形 角的关系 两锐角互余 ?A??B?90??C为直角 的 定义 锐角A的正弦、余弦和正切都是?A的三角函数 边角 sinA?cos?90??A? 关互余两角的三角函数 cosA?sin?90??A? 系 锐角三角函数 2A?cos2A?1sin同角的三角函数关系 30?,45?,60?角的三角函数值 tanA? cosA锐角三角函数 由三角函数求锐角的度数 解直角三角形 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比），用tan?表示 ?????的对边 斜边??的邻边 仰角、俯角、方向角 应用 测量底部可以到达的物体的高度 测量物体的高度 ??????sinA? 测量底部不可以到达的物体高度 专题一：方向角问题 知识点精讲： 1. 方向角一般是指正北或者正南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角常写成 “北偏···”“南偏···”的形式。 2. 观测点不同，所得到的方向角不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的。 典型例题： 【例1】如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20?方向匀速航线，在B处观测灯塔A位于南偏东50?方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于南偏东10?方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ） ?A.20海里 B.40海里 C.203403海里 D.海里 33【习题1】如图，港口A在观测站O的正东方向，OA?4km，某船从港 口A出发，沿北偏东15?方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60?的方向，则该船航行的距离为（ ） A.4海里 B.23海里 C.22海里 D.3?1海里 【习题2】如图所示，海中有一个小岛B，距它15海里范围内有一暗礁，有一货轮以30海里/时的速度向正北方向航行，当它航行到A处时，发现B岛在它的北偏东30?方向，当货轮继续向北航行半小时到达C处，此时发现B岛在它的东北方向。货轮继续向北航行有无触礁的危险？ 专题二：仰角、俯角问题 知识点精讲： 1. 仰角是从低处观测高处的目标，视线与水平线所成的锐角；俯角是从高处观测低处的目标，视线与水平线所成的锐角。 2. 实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形或转化到直角三角形中运用，注意确定水平线。 3. 在测量物体的高时，要善于将实际问题抽象为数学问题。 典型例题： 【例1】如图所示，小颖利用有一个锐角是30?的三角尺测量一棵树的高度。已知她与 树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛到地面的距离）那么这棵树 的高度是（ ） ???533?533??m B.?A.?? C.m D.4m 53?m???3?232????【习题1】如图，某建筑物BC的顶部有一旗杆AB，且点A,B,C在同一条直线上。小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47?，观测旗杆底部B的仰角为42?。已知点D到地面的距离为DE为1.56m，EC?21m，求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度。（结果保留小数点后一位，参考数据：tan47??1.07,tan42??0.90） 【习题2】如图，某人在山坡坡脚C处测的一座建筑物的顶点A的仰角为60?，沿山坡向上走到P处测得该建筑物顶点A的仰角为45?，已知BC?90米，且B,C,D在同一条直线上，山坡坡度为（1）求该建筑物的高度（即AB的长） （2）求此人所在位置点P的铅直高度。（结果保留根号） 专题三：利用三角函数测高 知识点精讲： 11（即tan?PCD?） 221. 测量底部可以到达的物体的高度：所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离。 2. 测量底部不可以到达的物体的高度：所谓“底部不可以到达”，就是地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离 典型例题： 【例1】如图，在数学活动中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学 楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45?，测得旗杆顶端A的仰角为30?。若旗杆 与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度为 （保留根号） 【习题1】如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离AB是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M的仰角为45°.小红的眼睛与地面的距离CD是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上)．求出旗杆MN的高度． (参考数据：2≈1.4，3≈1.7，结果保留整数．) 【例2】如图，某班学生利用周末到白塔山去参观博物馆。下面是两位同学的一段对话：