第三章 数系的扩充与复数的引入
树人高级中学 熊平
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
【学情分析】：
从小学接触自然数到扩充至整数范围,进入初中阶段后学生认识到数系从整数到有理数再到实数的第二次扩充.因为现实的需要,高中阶段要进一步实现从实数系到复数系的第三次扩充.
学生初次接触复数，会产生一种“虚无缥缈”的感觉.所以要有意识地将实数与复数进行类比学习,学会复数问题向实数问题转化的方法.
【教学目标】：
（）知识目标：
理解复数产生的必然性、合理性；掌握复数的代数表示形式;掌握复数系下的数的分类.
（）过程与方法目标：
2从为了解决x?1?0这样的方程在实数系中无解的问题出发,设想引入一个新数2,使是方程x?1?0的根.到将添加到实数集中去,使新引入的数和实数之间能象实
数系那样进行加、乘运算；掌握类比的方法，转化的方法。 （）情感与能力目标：
通过介绍数系扩充的简要进程，使同学们感受人类理性思维对数学的发展所起的重要作用，体会数与现实世界的联系。
【教学重点】：
复数的概念及其分类。 【教学难点】： 虚数单位的引入。
【教学突破点】：
2从解x?1?0方程的需要，引入虚数单位.及虚数单位与实数的融合。
【教法、学法设计】：
讲授、练习相结合。
教学过程设计
一、复习引入
2．方程x?2?0在有理数系没有解，但当把数的范围扩充到实数系后，这个二
次方程恰好有两个解：x??2； ．同学们在解一元二次方程
ax2?bx?c?0的时候，会遇到判别式
??b2?4ac?0的情况。这时在实数范围内方程无解。一个自然的想法是能否把
实数系扩大，使这种情况下的方程在更大的数系内有解？
二、讲授新课
（）复数的概念①形如a?bi(a,b?R)的数叫复数。其中叫虚数单位。全体复数所成集合叫复数集。
②复数通常用字母z表示。即a?bi(a,b?R)。其中a与b分别叫做复数的实部与虚部。
③a?bi(a,b?R)与c?di(c,d?R)相等的条件是a?c且b?d. （）复数的分类
?实数(b?0),复数z??虚数(b?0)(当a?0时为纯虚数).
三、运用新知 ，体验成功
练习：
说出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是复数：
2?2,0.618,3i,0,i,i2,5?2i,3?2i,(1?3)i,2?2i.
写出下列各复数的实部和虚部：
?3?2i,3?7i,13?i,?8,?6i.22
求适合下列方程的x和y(x,y?R)的值：
(1)(x?2y)?(2x?3y)i?3?3i;(2)(3x?y?3)?(x?y?3)i.
答案:①实数有:
2?2,0.618,0,i2;3i,i,5?2i,3?2i,(1?3)i,2?2i.;复数有:全部.
②实部及虚部依次为:
?3,2;3,7;12,32;?8,0;0,?6.
(1)x?3③
7,y??97;(2)x?0,y??3.
四、师生互动，继续探究
复数的分类及复数相等条件的运用： m(m?2)例.已知m?R,复数
z?m?1?(m2?2m?1)i,当m为何值时: ()z是虚数; ()z是纯虚数.
分析:涉及复数的分类概念,应分别应用复数.??当且仅当b?0时为实数,a?bi??当且仅当b?0时为虚数,?当且仅当a?0,b?0时为纯虚数,??当且仅当a?0,b?0时为零.解:(1)当m2?2m?1?0且m?1?0,即m??1?2时,z为实数.(2)当m2?2m?1?0且m?1?0.即m??1?2且m?1时,z为虚数.(3)当m(m?2)m?1?0且m2?2m?1?0,即m?0或?2时,z为纯虚数.
例.已知x是虚数,y是纯虚数,且满足(2x?1)?(3?y)i?y?i,求x,y.
五、分层练习，巩固提高
虚数有:
()z?R;