18.1.2 平行四边形的判定
知能演练提升 能力提升
1.从下面所给的∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比中,能判定四边形ABCD是平行四边形的是( ) A.2∶3∶2∶3 B.2∶2∶3∶3 C.1∶2∶3∶4 D.1∶2∶2∶3
2.已知四边形ABCD,有以下四个条件:①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD.从这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共有( ) A.6种 B.5种 C.4种 D.3种
3.如图,在△ABC中,D,E分别是边AC,AB的中点,连接BD.若BD平分∠ABC,则下列结论错误的是( ) A.BC=2BE B.∠A=∠EDA C.BC=2AD D.BD⊥AC
★4.如图,在△ABC中,AB=AC,M,N分别是AB,AC的中点,D,E为BC上的点,连接DN,EM.若AB=5 cm,BC=8 cm,DE=4 cm,则图中阴影部分的面积为( )
A.1 cm2 B.1.5 cm2 C.2 cm2 D.3 cm2
5.如图,在?ABCD中,AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,OE=3 cm,则AD的长是 cm.?
6.一个四边形的边长依次为a,b,c,d,且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则这个四边形是 .?
7.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD面积为 ,它是否为平行四边形: .(填“是”或“否”)? 8.
如图,在?ABCD中,点E在AD上,连接BE,DF∥BE交BC于点F,AF与BE交于点M,CE与DF交于点N.求证:四边形MFNE是平行四边形.
9.如图,请在下列四个关系中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形ABCD是平行四边形,并予以证明.(写出一种即可)
关系:①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°. 已知:在四边形ABCD中, , .? 求证:四边形ABCD是平行四边形.
10.如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,顺次连接E,F,G,H,得到的四边形EFGH叫中点四边形. 求证:四边形EFGH是平行四边形.
11.如图,已知AD与BC相交于点E,∠1=∠2=∠3,BD=CD,∠ADB=90°,CH⊥AB于点H,CH交AD于点F.
(1)求证:CD∥AB;
(2)求证:△BDE≌△ACE;
(3)若O为AB的中点,求证:OF=BE.
创新应用
★12.某市加强“公车”监督机制,倡导办公人员以步代车.如图,是该市部分街道示意图,A,D,F在同一直线上,F是CE的中点,EC⊥BC,BA∥DE,BD∥AE.甲、乙两人同时从住所B地步行到F地办公,若甲走的路线是B—A—E—F;乙走的路线是B—D—C—F,假设两人行走的速度相同,那么谁先到达办公地点F?请说明理由.
★13.木工师傅要做一个含有45°角的平行四边形木板,现只有一块如图所示的等腰直角三角形的木板,请你设计一种最简单的方案,并证明你的方案正确.
参考答案
能力提升 1.A 2.C
3.C 易知DE是△ABC的中位线, ∴DE∥BC,BC=2DE.
又BD平分∠ABC,可得∠EBD=∠EDB, ∴DE=BE=AE.
∴BC=2BE,∠A=∠EDA,故选项A,B都正确; ∵∠A+∠EDA+∠EBD+∠EDB=180°, ∴2∠EDA+2∠EDB=180°,
即∠ADB=90°,∴BD⊥AC.故选项D也正确.
4.B 连接MN,过点A作AH⊥BC于点H,过点O作SG⊥BC于点G,且与MN交于点S.
由条件得MN为△ABC的中位线,
∴MN=BC=4(cm)=DE,MN∥DE,△MON≌△EOD. ∴OG=OS=PH=AH.
∵AB=5cm,BH=BC=4cm, ∴AH==3(cm).
∴OG=cm,S△ODE=DE·OG=1.5(cm2).
5.6 由平行四边形的对角线互相平分,知OA=OC.
又点E是AB的中点,则得EO是△ABD的中位线.所以EO=AD,则AD=2OE=6(cm). 6.平行四边形 由原式,得a2-2ac+c2+b2-2bd+d2=0,即(a-c)2+(b-d)2=0, ∴a=c,b=d,∴这个四边形为平行四边形.
7.24 是 由勾股定理可求CE=5,即AE=5,则AC与BD互相平分,则四边形ABCD是平行四边形,故S?ABCD=4×6=24.
8.证明∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC. 又∵DF∥BE,
∴四边形BEDF是平行四边形,∴DE=BF. ∴AD-DE=BC-BF,即AE=CF.
又∵AE∥CF,∴四边形AFCE是平行四边形. ∴MF∥NE,∴四边形MFNE是平行四边形.
9.解已知:①③,①④,②④,③④均可,其余均不可以.举例如下: 已知:在四边形ABCD中,①AD∥BC,③∠A=∠C. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵AD∥BC,
∴∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°. ∵∠A=∠C,∴∠B=∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形.