第2课时 二元一次不等式(组)表示平面区域的应用
1．二元一次不等式及其表示的平面区域
(1)定义：含有两个未知数，并且未知数的次数是__的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成________(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
(2)画二元一次不等式表示平面区域的步骤：
①画线——画出不等式所对应的方程所表示的直线(如果原不等式的不等号中带等号，则画成实线，否则，画成虚线)．
②定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧，常用的特殊点为(0,0)，(1,0)，(0,1)．
【做一做1】 画出二元一次不等式y＞2x表示的平面区域． 2．二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域是各个二元一次不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的____部分．注意平面区域是否包括边界，包括边界时边界直线为实线，不包括边界时边界直线为虚线．
??x－y－1<0，
【做一做2】 画出不等式组?表示的平面区域．
?2x－y－3≥0?
答案：1．(1)1 有序数对
【做一做1】 解：画直线y＝2x，且画成虚线．当x＝0，y＝1时，y＞2x成立，则点(0,1)在y＞2x表示的平面区域一侧，则所求作平面区域，如图中的阴影部分所示．
[来源:Z。xx。k.Com]
2．公共
【做一做2】 解：画出直线x－y－1＝0(虚线)，不等式x－y－1＜0表示直线x－y－1＝0左上方的平面区域．
画出直线2x－y－3＝0(实线)，
不等式2x－y－3≥0表示直线2x－y－3＝0上及右下方的平面区域．
??x－y－1<0，
所以不等式组?表示的平面区域是如图所示的阴影部分．
?2x－y－3≥0?
判定二元一次不等式表示的平面区域
AC
剖析：(1)B＞0时，Ax＋By＋C＞0可转化为y＞－x－，表示直线Ax＋By＋C＝0上
BBAC
方的区域；B＜0时，Ax＋By＋C＜0可转化为y＞－x－，表示直线Ax＋By＋C＝0上方
BB
的区域．
AC
(2)B＞0时，Ax＋By＋C＜0可转化为y＜－x－，表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区
BBAC
域；B＜0时，Ax＋By＋C＞0可转化为y＜－x－，表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．
BB
[来源学科网ZXXK]题型一 最值问题
x≥1，??
【例题1】 如果实数x，y满足不等式组?x－y＋1≤0，
??2x－y－2≤0，__________．
则x2＋y2的最小值为
y－n
反思：已知x，y满足二元一次不等式(组)，求形如(x－a)2＋(y－b)2，的最值时，
x－m
通常利用数形结合来解决，其步骤是：(1)画出二元一次不等式(组)表示的平面区域；(2)令
y－n
P(x，y)是平面区域内任意一点，则(x－a)2＋(y－b)2＝|PM|，其中M(a，b)，＝k，其
x－mPN
中N(m，n)；(3)借助于平面区域找出|PM|，kPN的最值．
题型二 实际应用问题
【例题2】 某厂使用两种零件A，B装配甲，乙两种产品，该厂的生产能力是每月生产甲产品最多2 500件，每月生产乙产品最多1 200件，而且装一件甲产品需要4个A,6个B，装一件乙产品需要6个A,8个B.2008年1月，该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000个，用不等式将甲，乙两种产品产量之间的关系表示出来，并画出相应的平面区域．
分析：分别设出两种产品的产量，由题目中的条件列出不等式组．
反思：解决此类题目的关键是列出不等式组，用字母表示变量，找出表示不等关系的关键词，列出不等式组即可．本题中表示不等关系的关键词是“A最多有14 000个，B最多有12 000个”．
本题易错写为不等式组
[来源学科网]??y≤1 200，
?4x＋6y≤14 000，??6x＋8y≤12 000，
x≤2 500，
其原因是忽视了变量的实际意义，其避免方法是实际问题中要优先考虑实际意义．
答案：【例题1】 5 设M(x，y)为满足不等式组表示的平面区域内一点，
则示．
??x－y＋1＝0，由?得A(1,2)． ?x＝1，?
[来源:Z.xx.k.Com]x2＋y2＝[(x－0)2＋(y－0)2]2＝|OM|2.画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所
当M与点A(1,2)重合时，|OM|取最小值5， 所以x2＋y2的最小值为5.
【例题2】 解：设每月生产甲产品x件，每月生产乙产品y件，
??0≤y≤1 200，
则x，y满足?4x＋6y≤14 000，
??6x＋8y≤12 000，
0≤x≤2 500，
??0≤y≤1 200，即?2x＋3y≤7 000，??3x＋4y≤6 000.
0≤x≤2 500，
在平面直角坐标系中，画出上述不等式组表示的平面区域，如下图的阴影部分所示．
?2x?y?2≥0,?1如果点P在平面区域?x?2y?1≤0,上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|
?x?y?2≤0?的最小值为( )
A．5?1 C．22?1
4?1 5D．2?1
B．?x≥1,2y?2若x，y满足条件?y≥1,则的取值范围是__________．
x?x?y?3≤0,??y≥2,?3(2011北京朝阳二模，文14)已知区域D：?x?y?2≥0,则x2＋y2的最小值是
?x?y?1≤0,?__________．
4某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和2 h，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h．又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h和9 h．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
5有粮食和石油两种货物，可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量如下表：
货物 轮船运输量 飞机运输量 粮食/t 300 150 石油/t 250 100 现在要在一天之内运输2 000 t粮食和1 500 t石油，试用代数和几何两种方法表示运输工具和运输数量满足的关系．
答案：1．A 2.[1,4] 3.4
4．解：设家具厂每天生产甲、乙型号的桌子的张数分别为x和y，
?x?2y≤8,?3x?y≤9,?它们满足的数学关系式为?
x≥0,x?N,???y≥0,y?N.分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，
生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．
?6x?3y≥40,?5x?2y≥30,?5．解：设需要x艘轮船，y架飞机，代数关系式和几何描述(如图)分别为?
x≥0,???y≥0.