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专题35 等比数列问题探究
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等比数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等比数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等差数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查．
1、定义：数列?an?从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数q?q?0?，则称?an?为等比数列，这个常数q称为数列的公比
注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为q?1的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列
2、等比数列通项公式：an?1n?mn?a1?q，也可以为：an?am?q
3、等比中项：若a,b,c成等比数列，则b称为a,c的等比中项 （1）若b为a,c的等比中项，则有
ab?bc?b2?ac （2）若?a?n?为等比数列，则?n?N，an?1均为an,an?2的等比中项 （3）若?an?为等比数列，则有m?n?p?q?aman?apaq 4、等比数列前n项和公式：设数列?an?的前n项和为Sn 当q?1时，则?an?为常数列，所以Sn?na1 当q?1时，则Sa1?1?qn?n?1?q
可变形为：S?1?qn?a1an?a11?q?q?1qn?a1q?1，设k?1q?1，可得：Sn?k?qn?k
5、由等比数列生成的新等比数列
（1）在等比数列?an?中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列?an?,?bn?，则有 ① 数列?kan?（k为常数）为等比数列
② 数列?a??（?为常数）为等比数列，特别的，当???1时，即??1?na?为等比数列
?n?③ 数列?anbn?为等比数列 ④ 数列?an?为等比数列
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6、相邻k项和的比值与公比q相关： 设S?am?1?am?2??am?k,T?an?1?an?2??an?k，则有：
Sam?1?am?2?aq?q2m?kam???qk?T??a??a?2n?1?an?2n?kan?q?q??qk??ama?qn?m n特别的：若a1?a2??ak?Sk,ak?1?ak?2??a2k?S2k?Sk,
a2k?1?a2k?2??a3k?S3k?S2k,，则Sk,S2k?Sk,S3k?S2k,成等比数列
7、等比数列的判定：（假设?an?不是常数列） （1）定义法（递推公式）：
an?1?q?n?N?a? n（2）通项公式：ann?k?q（指数类函数） （3）前n项和公式：Snn?kq?k x-k/w
注：若Snn?kq?m?m?k?，则?an?是从第二项开始成等比关系
（4）等比中项：对于?n?N?，均有a2n?1?anan?2
8、非常数等比数列?an?的前n项和S1?n 与???a?前n项和Tn的关系 n?nSa1?1?q?1?n?1?q，因为???a?是首项为1，公比为1的等比数列，所以有n?a1q1??1?nqn?1Ta?1?????1???q???n??qnqn?1aq?1?an?1 1?11?1q?q?1?qqSnn?1n?a1?1?q??a1q?q?1??a2n?1T1?qqn?11q n9、等差数列性质与等比数列性质：
等差数列?an? 等比数列?bn? 递推公式 a?bn?1n?1?an?d?n?N? b?q?n?N?? n 2
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通项公式 an?a1??n?1?d bn?b1?qn 2bn?1?bnbn?2 等差（比）中项 2an?1?an?an?2 m?n?p?q am?an?ap?aq 等间隔抽项 相邻k项和 仍构成等差数列 bmbn?bpbq 仍构成等比数列 Sn,S2n?Sn,S3n?S2n成等差数列 Sn,S2n?Sn,S3n?S2n成等比数列 10、等差数列与等比数列的互化：
（1）若?an?为等差数列，c?0,c?1，则c??成等比数列
ancan?1a?ad证明：设?an?的公差为d，则a?cn?1n?c为一个常数
cn所以c??成等比数列
an（2）若?an?为正项等比数列，c?0,c?1，则?logcan?成等差数列 证明：设?an?的公比为q，则logcan?1?logcan?logc所以?logcan?成等差数列
【经典例题】
例1.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【答案】B 【解析】
an?1?logcq为常数 an
【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行
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