在运动中分析 在静态中求解
动态几何问题已成为中考试题的一大热点题型．这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答，解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，本文以一道中考题为例，谈谈此类问题的思路突破与解题反思，希望能给大家一些启发．
题目 如图1，已知点A(2，0)，B(0，4)，∠AOB的平分线交AB于点C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于点Q，作点P、Q关于直线OC的对称点M、N．设点P运动的时间为t(0 (1)求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）． (2)设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S． ①试求S关于t的函数关系式； ②在直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否 有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由． 一、探求解题思路 1．利用基础知识轻松求解 由题意不难发现第1问是对基础知识的考查，有多种方法，考生可自行选择解法， 简解1 可通过作辅助线，过点C作CF上x轴于点F，CE⊥y轴于点E，由题意，易 44，)． 33简解2 由点A、B的坐标可得直线AB的解析式y＝－2x＋4；由OC是∠AOB的平 44分线可得直线OC的解析式y＝x；联立方程组轻松解得点C的坐标(，)． 33关于求点M、N的坐标，是对相似及对称性的考查，根据相似可得P(0，2t)，Q(t，0)，根据对称性可得M(2t，0)，N(0，t).这样，第1问轻松获解． 2．动静结合找界点，分类讨论细演算 第2问的第一小题中，所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论，这是本题的难点之一；而关键是动静结合找界点，得出t＝1时重叠部分的关系会发生变化，这是本题的难点之二．解答时需动手画出草图，随着点M、N的位置的变化，△MNC的位置也随之发生变化，△MNC与△OAB重叠部分的面积S也发生变化.S可能会存在两种情形：①△OAB将△MNC全部覆盖；②△OAB将△MNC部分覆盖；点M从点O出发运动到点A时，即t＝1时重叠部分的关系会发生变化，函数关系式也随之改变． 由t＝1这个界点确定两个范围，以此界值进行分类讨论： 当0 44结合点C的坐标(，)，可得 33S△CMN＝－t2＋2t； 当1 知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x．由比例式求出点C的坐标( 分覆盖，则重叠部分面积为S△CDN. 另一个关键是要用t的代数式表示D点的横坐标，即△BDN的高，这是本题的难点之 三． 1x＋t． 28?2t再结合直线AB的解析式y＝－2x＋4，联立方程组，解出D点的横坐标为，则 3重叠部分面积为 S△CDN＝S△BDN－S△BCN 18 ?t2?2t? 33综上所述， 由M(2t，0)，N(0，t)可先用t的代数式表示直线MN的解析式y＝－ ??t2?2t(0?y?1)?S??12 8t?2t?1?t?2???3?3由函数解析式及其自变量的取值范围可画出函数图象，观察图象可知，当t＝1时，S 有最大值，最大值为1． 二、规范解答问题 (1)如图2，过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x． ∴OP＝2DQ． ∵P(0，2t)，∴Q(t，0). ∵对称轴OC为第一象限的角平分线， ∴对称点坐标为：M(2t，0)，N(0，t). (2)①当0 当1 设直线MN的解析式为y＝kx＋b，将M(2t，0)、N(0，t)代入，得 ?2tk?b?0 ?b?t? 综上所述， ??t2?2t(0?y?1)?S??12 8t?2t?1?t?2???3?3②画出函数图象，如图5所示： 观察图象可知，当t＝1时，S有最大值，最大值为1． 三、解题反思 1、关键的一步 本题在突破第2问时，能否得出t＝1时重叠部分的关系会发生变化，这是决定性的一