爱你一万年第6节 双曲线
最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
知 识 梳 理
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.
其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： (1)若a
标准方程 x2y2－＝1(a>0，b>0) a2b2y2x2－＝1(a>0，b>0) a2b2图 形 范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 A1(－a，0)，A2(a，0) by＝±x aA1(0，－a)，A2(0，a) ay＝±x bce＝，e∈(1，＋∞) a线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲实虚轴 线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 1
爱你一万年a，b，c的关系 [常用结论与微点提醒]
c2＝a2＋b2 2b1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径.
2
aca2＋b22.离心率e＝＝＝aab21＋2. a3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )
x2y2
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
mnx2y2x2y2xy(4)双曲线2－2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是2－2＝0，即±＝0.( )
mnmnmn解析 (1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
y2
2.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程2－2＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为
m＋n3m－n4，则n的取值范围是( ) A.(－1，3) C.(0，3)
B.(－1，3) D.(0，3)
x2
y222
解析 ∵方程2－2＝1表示双曲线，∴(m＋n)·(3m－n)>0，解得
m＋n3m－n－m 3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴 3垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( ) 1A. 3 2 2 2 2 2 2 2 x2 y2 1B. 22C. 33D. 2 2 爱你一万年解析 由c＝a＋b＝4得c＝2，所以F(2，0)， 将x＝2代入x－＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3.又A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为 313×3×(2－1)＝. 22答案 D 2 222 y2 y2 4.(2017·北京卷)若双曲线x－＝1的离心率为3，则实数m＝________. m2 1＋m2 解析 由题意知＝e＝3，则m＝2. 1答案 2 5.(选修1－1P54A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 解析 设双曲线的方程为：x－y＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求方程为－＝1. 88答案 2 2 x2y2 x2y2 8 －＝1 8 考点一 双曲线的定义及其应用 23 【例1】 (1)(2018·长春质检)双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－ 37)，点A(2，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为( ) A.8 B.10 2 2 C.4＋37 2 D.3＋317 2 (2)(2018·西安调研)已知圆C1：(x＋3)＋y＝1和圆C2：(x－3)＋y＝9，动圆M同时与圆 C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________. 解析 (1)由已知得双曲线方程为－＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′| 43＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10. (2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件， 得|MC1|－|AC1|＝|MA|， y2x2 3