(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第6节 双曲线学案 文 新人教A版

爱你一万年第6节 双曲线

最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).

知 识 梳 理

1.双曲线的定义

平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.

其数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0: (1)若ac时,则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程 x2y2-=1(a>0,b>0) a2b2y2x2-=1(a>0,b>0) a2b2图 形 范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) by=±x aA1(0,-a),A2(0,a) ay=±x bce=,e∈(1,+∞) a线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲实虚轴 线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 1

爱你一万年a,b,c的关系 [常用结论与微点提醒]

c2=a2+b2 2b1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为,也叫通径.

2

aca2+b22.离心率e===aab21+2. a3.等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于2.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )

x2y2

(3)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )

mnx2y2x2y2xy(4)双曲线2-2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是2-2=0,即±=0.( )

mnmnmn解析 (1)因为||MF1|-|MF2||=8=|F1F2|,表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全部.

(3)当m>0,n>0时表示焦点在x轴上的双曲线,而m<0,n<0时则表示焦点在y轴上的双曲线.

答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

y2

2.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程2-2=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为

m+n3m-n4,则n的取值范围是( ) A.(-1,3) C.(0,3)

B.(-1,3) D.(0,3)

x2

y222

解析 ∵方程2-2=1表示双曲线,∴(m+n)·(3m-n)>0,解得

m+n3m-n-m

3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C:x-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴

3垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( ) 1A. 3

2

2

2

2

2

2

2

x2

y2

1B. 22C. 33D. 2

2

爱你一万年解析 由c=a+b=4得c=2,所以F(2,0),

将x=2代入x-=1,得y=±3,所以|PF|=3.又A的坐标是(1,3),故△APF的面积为

313×3×(2-1)=. 22答案 D

2

222

y2

y2

4.(2017·北京卷)若双曲线x-=1的离心率为3,则实数m=________.

m2

1+m2

解析 由题意知=e=3,则m=2.

1答案 2

5.(选修1-1P54A6改编)经过点A(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.

解析 设双曲线的方程为:x-y=λ(λ≠0),把点A(3,-1)代入,得λ=8,故所求方程为-=1.

88答案

2

2

x2y2

x2y2

8

-=1 8

考点一 双曲线的定义及其应用

23

【例1】 (1)(2018·长春质检)双曲线C的渐近线方程为y=±x,一个焦点为F(0,-

37),点A(2,0),点P为双曲线第一象限内的点,则当点P的位置变化时,△PAF周长的最小值为( ) A.8

B.10

2

2

C.4+37

2

D.3+317

2

(2)(2018·西安调研)已知圆C1:(x+3)+y=1和圆C2:(x-3)+y=9,动圆M同时与圆

C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为____________.

解析 (1)由已知得双曲线方程为-=1,设双曲线的另一个焦点为F′,则|PF|=|PF′|

43+4,△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF′|+4+|PA|+3,当F′,P,A三点共线时,|PF′|+|PA|有最小值,为|AF′|=3,故△PAF的周长的最小值为10. (2)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件, 得|MC1|-|AC1|=|MA|,

y2x2

3

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