2019-2020学年高中数学课时分层作业10等差数列的前n项和

课时分层作业(十) 等差数列的前n项和

(建议用时:60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1.在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前5项和S5=( ) A.7 C.20

B.15 D.25

??a1+d=1,

B [设{an}的首项为a1,公差为d,则有?

?a1+3d=5,?

??a1=-1,

所以?

?d=2,?

5×4

所以S5=5a1+d=15.]

2

2.等差数列{an}的前n项和Sn=n+5n,则公差d等于( ) A.1 C.5

B.2 D.10

2

B [∵a1=S1=6,a1+a2=S2=14,∴a2=8∴d=a2-a1=2.]

3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( ) A.5 C.9

A [法一:∵a1+a5=2a3, ∴a1+a3+a5=3a3=3, ∴a3=1,

5?a1+a5?∴S5==5a3=5,故选A.

2

法二:∵a1+a3+a5=a1+(a1+2d)+(a1+4d)=3a1+6d=3,∴a1+2d=1, 5×4

∴S5=5a1+d=5(a1+2d)=5,故选A.]

2

B.7 D.11

a55S9

4.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=( )

a39S5

A.1 C.2

9

B.-1 1D. 2

a1+a9

2S99a595

A [===×=1.]

S5a1+a55a359

5

2

5.在等差数列{an}和{bn}中,a1+b100=100,b1+a100=100,则数列{an+bn}的前100项和

为( )

A.0 C.1 000

D [{an+bn}的前100项的和为50×200=10 000.]

二、填空题

6.记等差数列前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差d=________.

??S2=2a1+d=4,

3 [法一:由?

?S4=4a1+6d=20,?

B.100 D.10 000

100?a1+a100?100?b1+b100?

+=50(a1+a100+b1+b100)=22

解得d=3.

法二:由S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2+2d=S2+4d, ∴20-4=4+4d, 解得d=3.]

7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=22,S5=100,则S10=________.

??S2=2a1+d=22,

350 [法一:设等差数列{an}的公差为d,则?

??S5=5a1+10d=100,

??a1=8,

解得?

??d=6,

2

1

以S10=10×8+×10×9×6=350.

2

法二:设Sn=An5×10=350.]

1133

8.等差数列{an}中,d=,S100=145,an=-,则n=________.

210

1233133

21 [S100=100a1+50×99d=145,d=,所以a1=-,an=a1+(n-1)d=-,解

21010得n=21.]

三、解答题

9.等差数列{an}中,a10=30,a20=50. (1)求数列的通项公式; (2)若Sn=242,求n.

[解] (1)设数列{an}的首项为a1,公差为D.

??a10=a1+9d=30,

则?

?a20=a1+19d=50,?

2

??S2=4A+2B=22,

+Bn, 则?

??S5=25A+5B=100,

??A=3,

解得?

??B=5,

所以S10=3×10+

??a1=12,

解得?

?d=2,?

∴an=a1+(n-1)d=12+(n-1)×2=10+2n.

(2)由Sn=na1+

n?n-1?

d以及a1=12,d=2,Sn=242,

2

得方程242=12n+=11.

n?n-1?

2

×2,即n+11n-242=0,解得n=11或n=-22(舍去).故n2

10.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110. (1)求a及k的值;

(2)设数列{bn}的通项公式bn=,证明:数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn. [解] (1)设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a, 由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2, 所以Sk=ka1+Snnk?k-1?

2

2

·d=2k+

k?k-1?

2

×2=k+k.

2

由Sk=110,得k+k-110=0, 解得k=10或k=-11(舍去), 故a=2,k=10. (2)证明:由(1)得Sn=则bn==n+1,

故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,

即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列, 所以Tn=

n?2+2n?

2

=n(n+1),

Snnn?2+n+1?n?n+3?

2

=2

. [能力提升练]

1.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,且S2 011=S2 015,Sk=S2 007,则正整数k为( ) A.2 016 C.2 018

B.2 017 D.2 019

D [因为等差数列的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数,所以由二次函数的对称性2 011+2 0152 007+k及S2 011=S2 015,Sk=S2 007,可得=,解得k=2 019.故选D.]

22

2.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=( ) A.8 C.6

B.7 D.5

D [Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+(2k+1)d,又a1=1,d=2.Sk+2-

Sk=24,所以2+2(2k+1)=24,得k=5.]

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