课时分层作业(十) 等差数列的前n项和
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝( ) A．7 C．20
B．15 D．25
??a1＋d＝1，
B [设{an}的首项为a1，公差为d，则有?
?a1＋3d＝5，?
??a1＝－1，
所以?
?d＝2，?
5×4
所以S5＝5a1＋d＝15.]
2
2．等差数列{an}的前n项和Sn＝n＋5n，则公差d等于( ) A．1 C．5
B．2 D．10
2
B [∵a1＝S1＝6，a1＋a2＝S2＝14，∴a2＝8∴d＝a2－a1＝2.]
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( ) A．5 C．9
A [法一：∵a1＋a5＝2a3， ∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3， ∴a3＝1，
5?a1＋a5?∴S5＝＝5a3＝5，故选A．
2
法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1， 5×4
∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A．]
2
B．7 D．11
a55S9
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝( )
a39S5
A．1 C．2
9
B．－1 1D． 2
a1＋a9
2S99a595
A [＝＝＝×＝1.]
S5a1＋a55a359
5
2
5．在等差数列{an}和{bn}中，a1＋b100＝100，b1＋a100＝100，则数列{an＋bn}的前100项和
为( )
A．0 C．1 000
D [{an＋bn}的前100项的和为50×200＝10 000.]
二、填空题
6．记等差数列前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝________.
??S2＝2a1＋d＝4，
3 [法一：由?
?S4＝4a1＋6d＝20，?
B．100 D．10 000
100?a1＋a100?100?b1＋b100?
＋＝50(a1＋a100＋b1＋b100)＝22
解得d＝3.
法二：由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d， ∴20－4＝4＋4d， 解得d＝3.]
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝22，S5＝100，则S10＝________.
??S2＝2a1＋d＝22，
350 [法一：设等差数列{an}的公差为d，则?
??S5＝5a1＋10d＝100，
??a1＝8，
解得?
??d＝6，
2
所
1
以S10＝10×8＋×10×9×6＝350.
2
法二：设Sn＝An5×10＝350.]
1133
8．等差数列{an}中，d＝，S100＝145，an＝－，则n＝________.
210
1233133
21 [S100＝100a1＋50×99d＝145，d＝，所以a1＝－，an＝a1＋(n－1)d＝－，解
21010得n＝21.]
三、解答题
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求数列的通项公式； (2)若Sn＝242，求n.
[解] (1)设数列{an}的首项为a1，公差为D．
??a10＝a1＋9d＝30，
则?
?a20＝a1＋19d＝50，?
2
??S2＝4A＋2B＝22，
＋Bn, 则?
??S5＝25A＋5B＝100，
??A＝3，
解得?
??B＝5，
所以S10＝3×10＋
??a1＝12，
解得?
?d＝2，?
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋
n?n－1?
d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
2
得方程242＝12n＋＝11.
n?n－1?
2
×2，即n＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n2
10．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn. [解] (1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2， 所以Sk＝ka1＋Snnk?k－1?
2
2
·d＝2k＋
k?k－1?
2
×2＝k＋k.
2
由Sk＝110，得k＋k－110＝0， 解得k＝10或k＝－11(舍去)， 故a＝2，k＝10. (2)证明：由(1)得Sn＝则bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列， 所以Tn＝
n?2＋2n?
2
＝n(n＋1)，
Snnn?2＋n＋1?n?n＋3?
2
＝2
. [能力提升练]
1．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 015，Sk＝S2 007，则正整数k为( ) A．2 016 C．2 018
B．2 017 D．2 019
D [因为等差数列的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性2 011＋2 0152 007＋k及S2 011＝S2 015，Sk＝S2 007，可得＝，解得k＝2 019.故选D．]
22
2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝( ) A．8 C．6
B．7 D．5
D [Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d，又a1＝1，d＝2.Sk＋2－
Sk＝24，所以2＋2(2k＋1)＝24，得k＝5.]