考点32 数列的综合问题
1．（北京市房山区2019年高考第一次模拟测试理）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（ ）
（结果精确到0.1．参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771．） A．
天
B．
天
C．
天
D．
天
【答案】C 【解析】
设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An，则An=.
莞的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．则Bn ，
由题意可得： ，整理得：2+=7，解得2=6，或2=1（舍去）．
nnn
∴n=故选：C．
≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等.
2．（新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验）已知数列，满足，
，
A．【答案】D 【解析】
B．
，则数列
的前10项的和为 C．
D．
由an+1﹣an2，
所以数列{an}是等差数列，且公差是2，{bn}是等比数列，且公比是2．
又因为＝1，所以an＝+（n﹣1）d＝2n﹣1． 所以设
b2n﹣1＝?22n﹣2＝22n﹣2．
，所以＝2
2n﹣2
，
所以4，所以数列{?n}是等比数列，且公比为4，首项为1．
由等比数列的前n项和的公式得：
其前10项的和为故选：D．
（4﹣1）．
10
3．（安徽省“皖南八校”2018届高三第三次（4月)联考）删去正整数数列得到一个新数列，这个数列的第2018项是（ ） A．
B．
C．
D．
中的所有完全平方数，
【答案】B 【解析】
由题意可得，这些数可以写为：而数列方数后第
项应在
共有后的第
项，去掉
，第个平方数与第个平方数后，还剩余
项，即为
个平方数之间有
个正整数，
个数，所以去掉平
，故选B.
个数，即是原来数列的第
4．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评理）已知等比数列?an?的前n项和为
Sn,
A．2 【答案】B 【解析】 由以选B.
S4?（ ） ，则S2B．3
C．4
D．5
2可得a3?2a1，所以q?2，又因为
，所
5．（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，
被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ） A．
1 40B．
1 121C．
1 364D．
1 1093【答案】C 【解析】
由题意，可设1,2,3,4,5,6 扇形区域的面积分别为
，则由几何概型得，消费88 元
以上者抽中一等奖的概率，故选C.
6．（湖北省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，已知正
11?an）
数列{an}满足Sn=2（an，n∈N*，其中Sn为数列{an}的前n项的和，则[
【答案】20 【解析】
由题可知Sn?0，当n?1时，
所以数列{Sn}是以首项和公差都是1的等差数列，即又n?1时，
2]=______．
化简可得，当
记
一方面另一方面
所以20?S?21 即[S]?20 故答案为20
7．（北京市朝阳区2019届高三第一次（3月)综合练习一模）天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向