2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题30 小题不小——比较大小

备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题30 小题不小——比较大小

高考命题中,常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题,往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起,进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻,即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧. (一)常用技巧和方法

1、如何快速判断对数的符号?八字真言“同区间正,异区间负”,容我慢慢道来: 判断对数的符号,关键看底数和真数,区间分为?0,1?和?1,???

(1)如果底数和真数均在?0,1?中,或者均在?1,???中,那么对数的值为正数 (2)如果底数和真数一个在?0,1?中,一个在?1,???中,那么对数的值为负数 例如:log30.5?0,log0.50.3?0,log23?0等

2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数(如0,1)的大小关系,一作图,自明了 3、比较大小的两个理念:

(1)求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,则可通过真数的大小与指对数函数的单调性,判断出指数(或对数)的关系,所以要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如:3,4,5,比较时可进行转化,尽管底数难以转化为同底,但指数可以变为相同

1314123??3131412?,4??4141312?,5??5121612,从而只需比较底数的大小即可

?(2)利用特殊值作“中间量”:在指对数中通常可优先选择“-1,0,1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围,各个击破”,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如log23,可知1?log22?log23?log24?2,进而可估计log23是一个1点几的数,从而便于比较 4、常用的指对数变换公式:

?m?m(1)a??an?

??(2)logaM?logaN?logaMN logaM?logaN?loga(3)logaN?nlogaN?a?0,a?1,N?0?

nnM N(4)换底公式:logab?logcb logca1nn (令c?b) logamN?logaN logbam进而有两个推论:logab?(二)利用函数单调性比较大小

1、函数单调性的作用:f?x?在?a,b?单调递增,则

?x1,x2??a,b?,x1?x2?f?x1??f?x2?(在单调区间内,单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁)2、导数运算法则: (1)f?x?g?x??f'??''?x?g?x??f?x?g'?x?

?f?x??f'?x?g?x??f?x?g'?x?(2)? ??2gxgx??????3、常见描述单调性的形式 (1)导数形式:f'?x??0?f?x?单调递增;f'?x??0?f?x?单调递减

(2)定义形式:f?x1??f?x2?表示函数值的差与对应自变量的差同号,f?x1??f?x2???0:?0或?x1?x2????x1?x2则说明函数单调递增,若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法:

(1)此类问题往往条件比较零散,不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么,也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点

(2)在构造函数时要根据条件的特点进行猜想,例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整

(3)在比较大小时,通常可利用函数性质(对称性,周期性)将自变量放入至同一单调区间中进行比较 (三)数形结合比较大小

1、对称性与单调性:若已知单调性与对称性,则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近,函数值越……”的结论,从而只需比较自变量与坐标轴的距离,即可得到函数值的大小关系

(1)若f?x?关于x?a轴对称,且?a,???单调增,则图象可能以下三种情况,可发现一个共同点:自变量距离轴越近,其函数值越小

(2)若f?x?关于x?a轴对称,且?a,???单调减,则图象可能以下三种情况,可发现一个共同点:自变量距

离轴越近,其函数值越大

2、函数的交点:如果所比较的自变量是一些方程的解,则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口,将其余函数的图象作在同一坐标系下,观察交点的位置即可判断出自变量的大小.

【经典例题】

例1.【2017课标1,理11】设x、y、z为正数,且2x?3y?5z,则( ) A.2x<3y<5z 【答案】D

B.5z<2x<3y

C.3y<5z<2x

D.3y<2x<5z

【名师点睛】对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,在用这个常数表示出对应的x,y,z,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式和0与1的对数表示.

b?g(20.8),例2.【2017天津,文理】已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)?xf(x).若a?g(?log25.1),c?g(3),则a,b,c的大小关系为( ) (A)a?b?c 【答案】C

【解析】因为f(x)是奇函数且在R上是增函数,所以在x?0时,f(x)?0, 从而g(x)?xf(x)是R上的偶函数,且在[0,??)上是增函数,

(B)c?b?a

(C)b?a?c

(D)b?c?a

a?g(?log25.1)?g(log25.1),

20.8?2,又4?5.1?8,则2?log25.1?3,所以即0?20.8?log25.1?3,

g(20.8)?g(log25.1)?g(3),

所以b?a?c,故选C.

【名师点睛】比较大小是高考常见题,指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数,借助指数函数和对数函数的图象,利用函数的单调性进行比较大小,特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小,还可以解不等式.

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