浅谈数形结合的思想在高中数学中的应用
【内容摘要】：数形结合的思想是高考数学试题中的基本方法之一，数形结合的思想是将抽
象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是可以使代数问题几何化，几何问题代数化，从而在解题过程中化难为易，化繁为简，提高解题效率。 【关键词】：数形结合 直观 形象 解题
一、数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法
华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观的说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质。实际上就是在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转化。在解析几何中，我们充分强调了用代数方法解决几何问题的解析法，它解决了许多紧靠图形无法精确讨论的问题，显示“数”的巨大威力。同时我们也看到许多问题若从“形”的角度去思考，可以找到直观、简捷的解题方案，这充分展现了“形”的无穷魅力。
二、运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则 1、等价性原则
在数形结合时，代数性质和几何性质转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞。有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应。
2、双方性原则
既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数进行几何分析容易出错。 3、简单性原则
不要为了“数形结合”而数形结合。具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的
取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与二次曲线。 三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧 在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需要做到以下四点： 1、要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； 2、要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； 3、要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；
4、精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。
很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。 四、下面我们从几个方面谈谈怎样用数形结合的思想方法解题
若能有意识的开发和利用解析几何中的“形”，我们会发现它在方程、不等式、函数、三角、复数、集合等代数分支中也有不俗的表现，它往往比用纯代数理论进行的抽象的推算要简捷明朗得多。
（一）数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用
2??x?bx?c,x?0, 例题：（1）设函数f(x)??若f(?4)?f(0),f(?2)??2,则函数y?g(x)?f(x)?x的
??2,x?0零点个数为 。
（2）使log2(?x)?x?1成立的x的取值范围是 。 解析:（1）由f(?4)?f(0)得
16?4b?c?c由f(?2)??2,得4?2b?c??2.
y C 联立两方程解得：b?4,c?2.于是，
?x2?4x?2,x?0,在同一直角坐标 f(x)??2,x?0.?A B 0 x y?x 系内，作出函数y?f(x)与函数y?x的图象，知它们有3个交点，进而函数亦有3个零点。 （2）在同一坐标系中，分别作出
log2(?x),y?x?1的图象，由图可知，
1y ?1 0 x
x的取值范围是??1,0?.
探究提高
（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解得个数是一种重要的思想方法，其根本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解得个数。
（2）解不等式问题经常联系函数图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上下位置关系转化数量关系来解决 不等式的解得问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答。
（3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标。 （二）数形结合思想在求参数、代数式取值范围问题中的应用
x??2?1,x?0, 例题：已知函数f(x)??2若函数g(x)?f(x)?m有3个零点，则实数m的取值范围
???x?2x,x?0,为 。
思维启迪
作出分段函数f(x)的图象，观察图象与
x??2?1,x?0, y?m的交点个数。函数f(x)??2???x?2x,x?0y 1 ?1 y?m 0 1 x x??2?1,x?0,??画出其图象如图所示，又由函数g(x)?f(x)?m有3个零点，知y?f(x)与y?m有2????x?1??1,x?03个交点，则实数m的取值范围是?0,1?。 探究提高
解决函数的零点问题，通常是转化为方程的根，进而转化为函数的图象的交点问题。在解决函数图象的交点问题时，常用数形结合，以“形”助“数”，直观简洁。 （三）运用数形结合思想解决函数问题
加强数形结合意识，做到脑中有图，将图形性质与数量关系联系起来，可使复杂问题具体化，达到化难为易，解决问题的目的。
2 例题：已知实数x,y满足x?y?6x?7?0求：
2（1）的最值； （2）y?x的最值；
2（3）x?y的最值。
2yx 分析：这是条件最值问题，若采用消元法，则较复杂，但我们注意到方程x?y?6x?7?022等价于
?x?3?2?y2?2,表示圆心在?3,0?，半径为2的圆，而
2y的几何意义是圆上一点与原点连x2线的斜率。令y?x?b，则b是y?x?b在轴上的截距，x?y是圆上一点与原点的距离的平方。
为此可借助于几何知识，通过数形结合解决。 解：条件x2?y?6x?7?0?
（1）设k?,即y?kx。由图可知，当 直线y?kx与圆相切时，斜率k取得最 大值和最小值。此时，
3k?01?k22?x?3?2?y2?2;表示圆心?3,0?，半径为2的圆。
yxy y?kx ?2，解 0 3 y?x?b x ?2得k??,所以?7y???x?2??;?7maxy???x?2??。 7min（2）设y?x?b,即y?x?b。当y?x?b与 y 3 圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值。 b 0 由图，此时以 （3）x2x
3?0?b2??1,?2,解得b??1,b??5所 ??5。
?y?x?max?y?x?b min?y2表示圆上的点与原点距离的 y ?x?3?2?y2?20 平方，由平面几何知，原点与圆心的两个 交点处取得最大值和最小值，即线段OA,OB.
（四）数形结合思想在求几何量中最值问题中的应用
2 例题：已知P是直线3x?4y?8?0上的动点，PA、PB是圆x?y?2x?2y?1?0的两条切线，
2A 3 B x y
A、B 是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。
思维启迪
在同一个坐标系中画出直线与 圆，做出圆的切线PA、PB，则四边
形PACB的面积S四边形PACB?S?PAC?S?PBC?2S?PAC,把S四边形PACB转化为2倍的S?PAC可以有以下多条数形结合的思路。 画出对应图形 利用数形结合明确所求 求解得结果 P
3x?4y?8?0
C
B
x
解：方法一 从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x?4y?8?0向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积s?PAC?11PA?AC?PA越来越大，从而S四边形PACB也越来22越大；当点P从左上、右下两方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时PC?从而PA?3?1?4?1?83?422?3,
PA2?AC2?22.
?(S四边形PACB)1?2??PA?AC?22. min2 方法二 利用等价转化的思想，设点P的坐标为(x,y)，则PC?理及AC?1,得PA??x?1??y?1?,由勾股定
2?2PC2?AC2??x?1??y?1??1
2?2从而S四边形PACB?2S?PAC?2?1PA?AC?PA?2?x?1??y?1??1
2?2从而欲求S四边形PACB的最小值，只需求PA的最小值，只需求PC2??x?1??y?1?的最小值，即
2?2定点C?1,1?与直线上动点P?x,y?距离的平方的最小值，它也就是点C?1,1?到直线3x?4y?8?0的距离
2的平方，这个最小值d?3?1?4?1?83?422?9，??S四边形PACB?min?9?1?22。
2?x?1???y?1??1中的y由3x?4y?8?0解
出，代入化为关于x的一元二次函数，进而用配方法求最值，也可得?S四边形PACB??22..
方法三 利用函数思想，将方法二中S四边形PACB?2min 探究提高
本题的解答运用了多种数学思想方法：数形结合思想，运动变化的思想，等价转化思想以及函数思想，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解决。 （五）运用数形结合思想研究复数问题