信号系统复习大纲

例1.3.6 已知f (–4–2t),画出f(t)。

f (-2t -4)

1

-3-2-1ot

f ( t )

1

-2o2t

知识点梳理:

1、两信号做加、乘法时,同一瞬时两函数值对应相加/乘。 2、信号做反转时,以纵坐标为轴反转所有函数值。 3、信号做平移时,通过整体自变量置零,判断移动方向。

4、信号做尺度变换时,是其在横坐标上的整体压缩或展宽,与纵坐标无关。 5、尺度变换的比例是1/a,而不用管是压缩还是扩展。 6、离散信号一般不进行尺度变换。

7、平移、反转、尺度变换综合运用时,有六种方法可采用,但一定要注意所有的变换都是对自变量(如:t)而言的。 四、阶跃函数和冲激函数

f (2t -4)反转,得f (2t –4)

1o123t展开,得f (t – 4)

左移4,得f (t)

f (t -4)1o246t小结:三种运算的次序可任意,但一定要注意始终对时间t进行操作。

?0,def?11、阶跃函数定义:?(t)?lim?n(t)??,n???2?1,2、阶跃函数性质:

t?0t?0t?0(1.4?3)

(1)可方便地表示某些信号;如图1.4.2信号可以表示为:

f(t)?[2?(t)?2?(t?1)]?{[??(t?1)?[??(t?2)]}

?2?(t)?3?(t?1)??(t?2)直接写出表达式的方法:

图1.4.2 信号波形

从左向右走,遇到跃变时间点,则在该时间点处有一个阶跃函数。向上跃变

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幅值为多少,其阶跃函数前面的系数就是多少;向下跃变的幅值是多少,则阶跃函数前的系数为负的多少。

(2)用阶跃函数表示信号的作用区间 3、冲激函数定义

?(t)?0,t?0?????(t)dt?1????(1.4?7)

?图1.4.4 冲激信号

4、冲激函数的导数?'(t)(也称冲激偶)

????f(t)??(t)dt??f?(0)(1.4?16)

5、冲激函数性质

f(t)?(t?a)?f(a)?(t?a)(1.4?29)

(1.4?27)

?????f(t)?(t?a)dt??f(a)?(t?a)dt?f(a)??f(t)??(t)?f(0)??(t)?f?(0)?(t)(1.4?25)(1.4?17)

????f(t)?(n)(t)dt?(?1)nf(n)(0)例1.4.1 计算下列各题。

(1)sin(t??)?(t) (2)?sin(t??4)?(t)dt (3)?sin(t??4)?(t)dt

4???1(4)?sin(t??4)?(t?1)dt

?30?9解:(1)法一:f(t)?sin(t??),由式(1.4-23)有:

4f(t)?(t)?f(0)?(t)?sin(?)?(t)?2?(t)

42???),由式(1.4-24)(2)f(t)?sin(t?:?f(t)?(t)dt??f(0)?(t)dt?f(0) 4?????)?(t)dt??sin(??)?(t)dt?sin(??)??2 sin(t???????4442(3)积分区间包含0,f(t)?sin(t??),?(t)?0;?(t)?0。t?0时,t?0时,4由式(1.4-24):?f(t)?(t)dt??f(0)?(t)dt?f(0)得:

????????)?(t)dt?9sin(??)?(t)dt?sin(??)??2 sin(t???1??144429?(t?1)?0;?(t?1)?0。(4)当t?1?0,即t?1时,当t?1?0,即t?1时,

而积分区间为(-3,0),不包含1,故?(t?1)?0,所以积分为0。

五、系统的描述

已知描述系统的框图,列写其微分方程或差分方程的一般步骤是:

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(1)选中间变量x(?)。对于连续系统,设最靠近系统输出端的积分器的输出设为x(t);对于离散系统,设最靠近系统输入端的延迟单元的输入设为x(k)。

(2)写出各加法器输出信号的方程。 (3)消去中间变量。

例1.5.2:已知框图,写出系统的微分方程。

4x”(t) x’(t) ∑f (t)∫2∫x(t) 3∑y(t)

解:注意从加法器的输入、输出入手写方程。如图设辅助变量x(t)。

3注意:对微分方程(连续系统),辅助变量的设置方法为:将最靠近系统输出端的积分器的输出设为x(t)。

x??(t)?f(t)?2x?(t)?3x(t)

即:x??(t)?2x?(t)?3x(t)?f(t) y(t)?4x?(t)?3x(t) 由此,可以得:

3y(t)?12x?(t)?9x(t)

2y?(t)?2[4x?(t)]??2[3x(t)]??8x??(t)?6x?(t) y??(t)?4x???(t)?3x??(t)

所以得:(纵向相加即可,上式的系数根据f(t)的关系式系数确定)

y??(t)?2y?(t)?3y(t)?4f?(t)?3f(t) 例1.5.3:已知框图,写出系统的差分方程。

4x(k) x(k-1) ∑f (k)D2Dx(k-2) 5∑y(k)

解:注意从加法器的输入、输出入手写方程。如图设辅助变量x(k)。

3注意:对差分方程(离散系统),辅助变量的设置方法为:将最靠近系统输入端的延迟单元的输入设为x(k)。 x(k)?f(k)?2x(k?1)?3x(k?2) 即:

x(k)?2x(k?1)?3x(k?2)?f(k)

y(k)?4x(k?1)?5x(k?2)

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由此可得:

3y(k?2)?12x(k?3)?15x(k?4) 2y(k?1)?8x(k?2)?10x(k?3)

y(k)?4x(k?1)?5x(k?2)

所以得:(纵向相加即可,上式的系数根据f(k)的关系式系数确定)

3y(k?2)?2y(k?1)?y(k)?5f(k?2)?4f(k?1)

根据LTI系统的线性和时不变性,有一类类似于作业题1.27或1.29的题目: 1.27某LTI连续系统,其初始状态一定,已知当激励为f?t?时,其全响应为:

y1(t)?e?t?cos(?t),t?0。若初始状态不变,激励为2f?t?时,其全响应为:

y2(t)?2cos(?t),t?0。求初始状态不变而激励为3f?t?时系统的全响应。

解:因为LTI系统,所以,满足可分解特性和零输入、零状态线性。

?y1?t??yzi?t??yzs?t??e?t?cos(?t),t?0

y2?t??yzi?t??2yzs?t??2cos(?t),t?0

?yzi(t)?2y1(t)?y2(t)?2e?t,t?0联立求解有:? ?ty(t)?y(t)?y(t)?cos(?t)?e,t?021?zs?y3?t??yzi?t??3yzs?t??2e?t?3cos(?t)?3e?t?3cos(?t)?e?t,t?0

1.29某二阶LTI连续系统的初始状态为x1(0)和x2(0),已知: 当x1(0)?1,x2(0)?0时,其零输入响应为yzi1(t)?e?t?e?2t,t?0; 当x1(0)?0,x2(0)?1时,其零输入响应为yzi2(t)?e?t?e?2t,t?0; 当x1(0)?1,x2(0)??1,而输入为f?t?时,其全响应为y(t)?2?e?t,t?0。 求当x1(0)?3,x2(0)?3,输入为2f?t?时的全响应。

解:设输入为f?t?时的零状态响应为yzs?t?,有:y(t)?yzi1(t)?[?yzi2(t)]?yzs(t)

?yzs(t)?y(t)?yzi1(t)?yzi2(t)?2?e?t?e?t?e?2t?e?t?e?2t?2?e?t?2e?2t

故有:

y3?t??3yzi1(t)?2yzi2(t)?2yzs(t)?3e?t?3e?2t?2e?t?2e?2t?4?2e?t?4e?2t?7e?3e?t?2t

?4,t?0所以,所求系统全响应为:7e?t?3e?2t?4,t?0。

第二章 连续系统的时域分析

一、LTI连续系统的响应 1、微分方程的经典解

设f(t)是单输入-单输出系统的激励,y(t)为响应,则描述LTI连续系统激励与

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响应之间关系的数学模型是n阶常系数线性微分方程:

y(n)(t)?an?1y(n?1)(t)???a1y(1)(t)?a0y(t)?bmf(m)(t)?bm?1f(m?1)(t)???b1f(1)(t)?b0f(t)

即:?ajyj?0n(j)(t)??biy(i)(t)

i?0m式中aj(j=0,1,…,m)均为常数,an=1。该微分方程的经典解:

y(t)(完全解)?yh(t)(齐次解)?yp(t)(特解)

齐次解是齐次微分方程y(n)(t)?an?1y(n?1)(t)???a1y(1)(t)?a0y(t)?0的解。 齐次解yh(t)的函数形式由微分方程的特征根确定,仅与系统本身的特性有关,而与激励f(t)的函数形式无关,称为系统的固有响应或自由响应。

特解的函数形式与激励函数的形式有关。它的函数形式由激励确定,称为强迫响应。 2、零输入响应

LTI系统完全响应y(t)也可分为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态{x(0)}所引起的响应,用yzi(t)表示。在零输入条件下,微分方程式等号右端为零,化为齐次方程。即

n?aj?0j(j)yzi(t)?0

若其特征根均为单根,则其输入响应:yzi(t)??Czijej?1n?jt

式中,Czij为待定常数。由于输入为零,故初始值

y(j)zi(0+)=y(j)zi(0-)=y(j) (0-),(j=0,1,2,...,n-1)

由初始状态即可确定各待定常数。若特征根不是单根,则根据表2-1写出响应,然后,确定响应中的待定常数即可。 3、零状态响应

零状态响应是系统的初始状态为零时,仅由输入信号f(t)引起的响应,用yzs(t)表示。这时,微分方程仍是非齐次方程,即

nm?aj?0jy(j)zs(t)??bifi?0(j)(t)

初始状态y(j)zs(0-)=0。若微分方程的特征根均为单根,则其零状态响应为

yzs(t)??Czsjej?1n?jt?yp(t)

式中,Czsj为待定常数,yp(t)为方程的特解。 4、冲激响应

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