例1.3.6 已知f (–4–2t)，画出f(t)。
f (-2t -4)
1
-3-2-1ot
f ( t )
1
-2o2t
知识点梳理：
1、两信号做加、乘法时，同一瞬时两函数值对应相加/乘。 2、信号做反转时，以纵坐标为轴反转所有函数值。 3、信号做平移时，通过整体自变量置零，判断移动方向。
4、信号做尺度变换时，是其在横坐标上的整体压缩或展宽，与纵坐标无关。 5、尺度变换的比例是1/a，而不用管是压缩还是扩展。 6、离散信号一般不进行尺度变换。
7、平移、反转、尺度变换综合运用时，有六种方法可采用，但一定要注意所有的变换都是对自变量（如:t）而言的。 四、阶跃函数和冲激函数
f (2t -4)反转，得f (2t –4)
1o123t展开，得f (t – 4)
左移4，得f (t)
f (t -4)1o246t小结：三种运算的次序可任意，但一定要注意始终对时间t进行操作。
?0,def?11、阶跃函数定义：?(t)?lim?n(t)??,n???2?1,2、阶跃函数性质：
t?0t?0t?0(1.4?3)
（1）可方便地表示某些信号；如图1.4.2信号可以表示为：
f(t)?[2?(t)?2?(t?1)]?{[??(t?1)?[??(t?2)]}
?2?(t)?3?(t?1)??(t?2)直接写出表达式的方法：
图1.4.2 信号波形
从左向右走，遇到跃变时间点，则在该时间点处有一个阶跃函数。向上跃变
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幅值为多少，其阶跃函数前面的系数就是多少；向下跃变的幅值是多少，则阶跃函数前的系数为负的多少。
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间 3、冲激函数定义
?(t)?0,t?0?????(t)dt?1????(1.4?7)
?图1.4.4 冲激信号
4、冲激函数的导数?'(t)（也称冲激偶）
????f(t)??(t)dt??f?(0)(1.4?16)
5、冲激函数性质
f(t)?(t?a)?f(a)?(t?a)(1.4?29)
(1.4?27)
?????f(t)?(t?a)dt??f(a)?(t?a)dt?f(a)??f(t)??(t)?f(0)??(t)?f?(0)?(t)(1.4?25)(1.4?17)
????f(t)?(n)(t)dt?(?1)nf(n)(0)例1.4.1 计算下列各题。
（1）sin(t??)?(t) （2）?sin(t??4)?(t)dt （3）?sin(t??4)?(t)dt
4???1（4）?sin(t??4)?(t?1)dt
?30?9解：（1）法一：f(t)?sin(t??)，由式（1.4-23）有：
4f(t)?(t)?f(0)?(t)?sin(?)?(t)?2?(t)
42???)，由式（1.4-24）（2）f(t)?sin(t?：?f(t)?(t)dt??f(0)?(t)dt?f(0) 4?????)?(t)dt??sin(??)?(t)dt?sin(??)??2 sin(t???????4442（3）积分区间包含0，f(t)?sin(t??)，?(t)?0；?(t)?0。t?0时，t?0时，4由式（1.4-24）：?f(t)?(t)dt??f(0)?(t)dt?f(0)得：
????????)?(t)dt?9sin(??)?(t)dt?sin(??)??2 sin(t???1??144429?(t?1)?0；?(t?1)?0。（4）当t?1?0，即t?1时，当t?1?0，即t?1时，
而积分区间为（-3，0），不包含1，故?(t?1)?0，所以积分为0。
五、系统的描述
已知描述系统的框图，列写其微分方程或差分方程的一般步骤是：
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（1）选中间变量x(?)。对于连续系统，设最靠近系统输出端的积分器的输出设为x(t)；对于离散系统，设最靠近系统输入端的延迟单元的输入设为x(k)。
（2）写出各加法器输出信号的方程。 （3）消去中间变量。
例1.5.2：已知框图，写出系统的微分方程。
4x”(t) x’(t) ∑f (t)∫2∫x(t) 3∑y(t)
解：注意从加法器的输入、输出入手写方程。如图设辅助变量x(t)。
3注意：对微分方程(连续系统)，辅助变量的设置方法为：将最靠近系统输出端的积分器的输出设为x(t)。
x??(t)?f(t)?2x?(t)?3x(t)
即：x??(t)?2x?(t)?3x(t)?f(t) y(t)?4x?(t)?3x(t) 由此，可以得：
3y(t)?12x?(t)?9x(t)
2y?(t)?2[4x?(t)]??2[3x(t)]??8x??(t)?6x?(t) y??(t)?4x???(t)?3x??(t)
所以得：（纵向相加即可，上式的系数根据f(t)的关系式系数确定）
y??(t)?2y?(t)?3y(t)?4f?(t)?3f(t) 例1.5.3：已知框图，写出系统的差分方程。
4x(k) x(k-1) ∑f (k)D2Dx(k-2) 5∑y(k)
解：注意从加法器的输入、输出入手写方程。如图设辅助变量x(k)。
3注意：对差分方程(离散系统)，辅助变量的设置方法为：将最靠近系统输入端的延迟单元的输入设为x(k)。 x(k)?f(k)?2x(k?1)?3x(k?2) 即：
x(k)?2x(k?1)?3x(k?2)?f(k)
y(k)?4x(k?1)?5x(k?2)
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由此可得：
3y(k?2)?12x(k?3)?15x(k?4) 2y(k?1)?8x(k?2)?10x(k?3)
y(k)?4x(k?1)?5x(k?2)
所以得：（纵向相加即可，上式的系数根据f(k)的关系式系数确定）
3y(k?2)?2y(k?1)?y(k)?5f(k?2)?4f(k?1)
根据LTI系统的线性和时不变性，有一类类似于作业题1.27或1.29的题目： 1.27某LTI连续系统，其初始状态一定，已知当激励为f?t?时，其全响应为：
y1(t)?e?t?cos(?t),t?0。若初始状态不变，激励为2f?t?时，其全响应为：
y2(t)?2cos(?t),t?0。求初始状态不变而激励为3f?t?时系统的全响应。
解：因为LTI系统，所以，满足可分解特性和零输入、零状态线性。
?y1?t??yzi?t??yzs?t??e?t?cos(?t),t?0
y2?t??yzi?t??2yzs?t??2cos(?t),t?0
?yzi(t)?2y1(t)?y2(t)?2e?t,t?0联立求解有：? ?ty(t)?y(t)?y(t)?cos(?t)?e,t?021?zs?y3?t??yzi?t??3yzs?t??2e?t?3cos(?t)?3e?t?3cos(?t)?e?t,t?0
1.29某二阶LTI连续系统的初始状态为x1(0)和x2(0)，已知： 当x1(0)?1，x2(0)?0时，其零输入响应为yzi1(t)?e?t?e?2t,t?0； 当x1(0)?0，x2(0)?1时，其零输入响应为yzi2(t)?e?t?e?2t,t?0； 当x1(0)?1，x2(0)??1，而输入为f?t?时，其全响应为y(t)?2?e?t,t?0。 求当x1(0)?3，x2(0)?3，输入为2f?t?时的全响应。
解：设输入为f?t?时的零状态响应为yzs?t?，有：y(t)?yzi1(t)?[?yzi2(t)]?yzs(t)
?yzs(t)?y(t)?yzi1(t)?yzi2(t)?2?e?t?e?t?e?2t?e?t?e?2t?2?e?t?2e?2t
故有：
y3?t??3yzi1(t)?2yzi2(t)?2yzs(t)?3e?t?3e?2t?2e?t?2e?2t?4?2e?t?4e?2t?7e?3e?t?2t
?4,t?0所以，所求系统全响应为：7e?t?3e?2t?4,t?0。
第二章 连续系统的时域分析
一、LTI连续系统的响应 1、微分方程的经典解
设f(t)是单输入-单输出系统的激励，y(t)为响应，则描述LTI连续系统激励与
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响应之间关系的数学模型是n阶常系数线性微分方程：
y(n)(t)?an?1y(n?1)(t)???a1y(1)(t)?a0y(t)?bmf(m)(t)?bm?1f(m?1)(t)???b1f(1)(t)?b0f(t)
即：?ajyj?0n(j)(t)??biy(i)(t)
i?0m式中aj（j＝0,1,…,m）均为常数，an＝1。该微分方程的经典解：
y(t)(完全解)?yh(t)(齐次解)?yp(t)(特解)
齐次解是齐次微分方程y(n)(t)?an?1y(n?1)(t)???a1y(1)(t)?a0y(t)?0的解。 齐次解yh(t)的函数形式由微分方程的特征根确定，仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应。
特解的函数形式与激励函数的形式有关。它的函数形式由激励确定，称为强迫响应。 2、零输入响应
LTI系统完全响应y(t)也可分为零输入响应和零状态响应。零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态{x(0)}所引起的响应，用yzi(t)表示。在零输入条件下，微分方程式等号右端为零，化为齐次方程。即
n?aj?0j(j)yzi(t)?0
若其特征根均为单根，则其输入响应：yzi(t)??Czijej?1n?jt
式中，Czij为待定常数。由于输入为零，故初始值
y(j)zi(0+)＝y(j)zi(0-)＝y(j) (0-)，(j=0,1,2,...,n-1)
由初始状态即可确定各待定常数。若特征根不是单根，则根据表2-1写出响应，然后，确定响应中的待定常数即可。 3、零状态响应
零状态响应是系统的初始状态为零时，仅由输入信号f(t)引起的响应，用yzs(t)表示。这时，微分方程仍是非齐次方程，即
nm?aj?0jy(j)zs(t)??bifi?0(j)(t)
初始状态y(j)zs(0-)＝0。若微分方程的特征根均为单根，则其零状态响应为
yzs(t)??Czsjej?1n?jt?yp(t)
式中，Czsj为待定常数，yp(t)为方程的特解。 4、冲激响应
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