离散数学(命题逻辑)课后总结

离散数学(课件上习题) 第一章

例1-1.1 判定下面这些句子哪些是命题。 ⑴ 2是个素数。 ⑵ 雪是黑色的。

⑶ 2013年人类将到达火星。 ⑷ 如果 a>b且b>c,则a>c 。(其中a,b,c都是 确定的实数) ⑸ x+y<5 ⑹ 请打开书!

⑺ 您去吗? ⑴⑵⑶⑷是命题

例1-2.1 P:2是素数。

?P:2不是素数 。 例1-2.2 P:小王能唱歌。 Q:小王能跳舞。

P∧Q:小王能歌善舞。 例1-2.3. 灯泡或者 线路有故障。(析取“∨”) 例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。(异或 、排斥或 。即“?”) 注意:P ? Q 与 (P∧?Q)∨(Q∧?P ) 是一样的。 归纳自然语言中的联结词,定义了六个逻辑联结词,分别是:(1)否定 “? ” (2) 合取 “∧ ” (3) 析取 “∨ ” (4) 异或 “? ” (5) 蕴涵 “? ” (6) 等价 “? ”

例1-2.5: P表示:缺少水分。 Q表示:植物会死亡。

P?Q:如果缺少水分,植物就会死亡。

P?Q:也称之为蕴涵式,读成 “P蕴涵Q”, “如果P则Q”。 也说成P是P?Q 的前件,Q是P?Q的后件。

还可以说P是Q的充分条件,Q是P的必要条件。 以下是关于蕴含式的一个例子

P:天气好。 Q:我去公园。 1.如果天气好,我就去公园。 2.只要天气好,我就去公园。 3.天气好,我就去公园。 4.仅当天气好,我才去公园。 5.只有天气好,我才去公园。 6.我去公园,仅当天气好。 命题1.、2.、3.写成: P?Q 命题4.、5.、6.写成: Q?P

例1-2.6: P:△ABC 是等边三角形。 Q :△ABC是等角三角形。 P?Q :△ABC 是等边三角形 当且仅当它是等角三角形。 ??

课后练习:填空

已知P∧Q为T,则P为( ),Q为( )。 已知P∨Q为F,则P为( ),Q为( )。 已知P为F,则P∧Q为( )。 已知P为T,则P∨Q为( )。

已知P∨Q为T,且P为F ,则Q为( )。 已知P?Q为F,则P为( ),Q为( )。 已知P为F,则P?Q为( )。 已知Q为T,则P?Q为( )。

已知 ?P??Q为F,则P为( ), Q为( )。 已知P为T, P?Q为T,则Q为( )。 已知?Q为T, P?Q为T,则P为( )。 已知P?Q 为T ,P 为T , 则Q 为( ). 已知P?Q 为F ,P 为T , 则Q 为( ). P?P 的真值为( ). P?P 的真值为( )。

1—3节

例1.说离散数学无用且枯燥无味是不对的。 P:离散数学是有用的。

Q:离散数学是枯燥无味的。 该命题可写成: ? (?P∧Q)

例2. 如果小张与小王都不去,则小李去。

P : 小张去。 Q : 小王去。 R : 小李去。 该命题可写成: (?P∧?Q)?R

如果小张与小王不都去,则小李去。 该命题可写成: ?(P∧Q)?R 也可以写成: (?P∨?Q)?R

例3. 仅当天不下雨且我有时间,才上街。 P:天下雨。Q:我有时间。R:我上街。

分析:由于 “仅当 ”是表示 “必要条件 ”的,既 “天不下雨且我有时间 ”,是 “我上街 ”的必要条件。所以

该命题可写成: R?(?P∧Q)

例4. 人不犯我,我不犯人;人若犯我,我必犯人。 P : 人犯我。Q : 我犯人。

该命题可写成:(?P??Q)∧(P?Q)或写成: P?Q 例5 .若天不下雨,我就上街;否则在家。 P:天下雨。Q :我上街。R:我在家。 该命题可写成: (?P?Q)∧(P?R). 注意:中间的联结词一定是“∧”,而不是“∨”,也不是“? ”。

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1—4节

重言(永真)蕴涵式证明方法 方法1.列真值表。

方法2.假设前件为真,推出后件也为真。 例如求证:

((A∧B)?C)∧?D∧(?C∨D) ? ?A∨?B

证明:设前件((A∧B)?C)∧?D∧(?C∨D) 为真则((A∧B)?C)、?D、(?C∨D)均真, ?D为T,则D为F

?C∨D为T 得C为F

((A∧B)?C )为T 得A∧B为F 如果A为F,则?A为T,所以?A∨?B为T。 如果B为F,则?B为T,所以?A∨?B 为T。 ?((A∧B)?C)∧?D∧(?C∨D) ? ?A∨?B 方法3.假设后件为假,推出前件也为假 。

例如求证: ((A∧B)?C)∧?D∧(?C∨D) ? ?A∨?B 证明: 假设后件?A∨?B 为F, 则A 与B 均为T 。

1. 如C 为F ,则(A∧B)?C为F,所以 前件((A∧B)?C)∧?D∧(?C∨D) 为F 。 2. 如C 为T ,则

⑴ 若D 为T ,则?D 为F , 所以前件((A∧B)?C)∧?D∧(?C∨D) 为假; ⑵若D为F,则?C∨D 为F , 所以 前件((A∧B)?C)∧?D∧(?C∨D) 为假。 ???((A∧B)?C)∧?D∧(?C∨D) ? ?A∨?B

重要的重言蕴涵式( 如教材第43 页所示)(课件中出现过多次,可不用记忆) I1. P∧Q?P I2. P∧Q?Q I3. P?P∨Q I4. Q?P∨Q

I5. ?P?P?Q I6. Q?P?Q

I7. ?(P?Q)?P I8. ?(P?Q)??Q I9. P,Q ?P∧Q I10. ?P∧(P∨Q)?Q I11. P∧(P?Q)?Q I12. ?Q∧(P?Q)??P I13. (P?Q)∧(Q?R)?P?R

I14. (P∨Q)∧(P?R)∧(Q?R)?R I15. A?B ?(A∨C)?(B∨C) I16. A?B ?(A∧C)?(B∧C) 1—5节

重要的等价公式(课件中出现多次,可不用记忆)

⑴ 对合律 ??P ?P ⑵ 幂等律 P∨P?P P∧P?P ⑶ 结合律 P∨(Q∨R)?(P∨Q)∨R P∧(Q∧R)?(P∧Q)∧R ⑷ 交换律 P∨Q?Q∨P P∧Q?Q∧P

⑸分配律 P∨(Q∧R)?(P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R)?(P∧Q)∨(P∧R) ⑹ 吸收律 P∨(P∧Q)?P P∧(P∨Q)?P

⑺底-摩根定律 ?(P∨Q)??P∧?Q ?(P∧Q)??P∨?Q

⑻ 同一律 P∨F?P P∧T?P ⑼ 零律 P∨T?T P∧F?F ⑽ 互补律 P∨?P?T P∧?P?F ⑾ P?Q ??P∨Q ⑿ P?Q ??Q??P ⒀ P?Q ?(P?Q)∧(Q?P)

⒁ P?Q ?(?P∨Q)∧(P∨?Q) ⒂ P?Q ?(P∧Q)∨(?P∧?Q )

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