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第四章习题详解
1． 下列数列?an?是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1) an?
1?ni；
1?mi?2) an??1??
i??； 2?n?n3) an???1??
4) an?e 5) an?
?n?i2i； n?1；
1?n?i2。 en?0,a?1???,a?1n2． 证明：lima??
1,a?1n????不存在，a?1,a?1?
3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：
in1) ?；
nn?1?
in2) ?；
lnnn?2? 3) 4)
?n?0???6?5i?n8n；
cosin。 ?n2n?0
4． 下列说法是否正确？为什么？
1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；
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2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；
3) 每一个在z0连续的函数一定可以在z0的邻域内展开成泰勒级数。
5． 幂级数
?cn?z?2?能否在z?0收敛而在z?3发散？
nn?0?
6． 求下列幂级数的收敛半径：
zn1) ?p（p为正整数）；
n?1n? 2) 3) 4) 5)
nn??1?iz； ?n?0??n?1??n!?2nnzn；
?en?1??i?nzn；
?i?n??chz?1； ???n??n?1?z?6) ???。
lnin?n?1? 7． 如果
8． 证明：如果
???n?cn?0nz的收敛半径为R，证明??Recn?zn的收敛半径?R。[提示：?Recn?zn?cnz]
nnn?0cn?1cn?1n?1n??z存在，下列三个幂级数有相同的收敛半径；；cz??nlimcn?1n??nn?1ncz?n。
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9． 设级数
?cn?0??n收敛，而
?cn?0?n发散，证明
?cn?0?nzn的收敛半径为1。
10． 如果级数
敛。
?cn?0nzn在它的收敛圆的圆周上一点z0处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收
11． 把下列各函数展开成z的幂级数，并指出它们的收敛半径： 1) 2)
3) cosz；
4) shz；
5) chz； 6) e 7) e 8) sin
12． 求下列各函数在指定点z0处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： 1) 2)
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zz?1z21； 31?z1?1?z?222；
sinz2；
；
1。 1?zz?1，z0?1； z?1z?z?1??z?2?，z0?2；
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3) 4)
1，z0??1； z21，z0?1?i；
4?3z5) tgz；z0?
?4；
6) arctgz；z0?0。
13． 为什么在区域z?R内解析且在区间??R,R?取实数值的函数f?z?展开成z的幂级数时，展开式的
系数都是实数？
s?14． 证明在f?z??co?z??1??以z的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为z?1cn?2??2?0cos?2cos??cosn?d?，?n?0,?1,?2,??。[提示：在公式?4.4.8?中，取C为z?1，
i?在此圆上设积分变量??e
15． 下列结论是否正确？
用长除法得
。然后证明cn的积分的虚部等于零。]
z?z?z2?z3?z4?? 1?zz111?1??2?3?? z?1zzz因为
zz??0 1?zz?1111?2?3?1?z?z2?z3?z4???0 zzz所以 ??
16． 把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数： 1)
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1，1?z?2； 2?z?1??z?2? .WORD.格式.
2) 3)
1，1?z?1，0?z?1?1； 2z?1?z?1?z?1??z?2?11?z，0?z?1?1，1?z?2???；
4) e 5)
，1?z???；
1，在以i为中心的圆环域内；
z2?z?i?6) sin 7)
1，在z?1的去心邻域内； 1?z?z?1??z?2?3?，
?z?3??z?4??1??z?z?4，4?z???。
17． 函数tg??能否在圆环域0?z?R?0?R????展开成洛朗级数？为什么？
18． 如果k为满足关系k?1的实数，证明
2?knsin?n?1???n?0??sin? 21?2kcos??kcos??k
1?2kcos??k2?1?kncos?n?1???n?0i?[提示：对z?k展开?z?k?成洛朗级数，并在展开式的结果中置z?e，再令两边的实部与实部
相等，虚部与虚部相等。]
19． 如果C为正向圆周z?3，求积分
?f?z?dz的值。设f?z?为：
C1)
1；
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