复变函数习题答案解析第4章习题详解

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第四章习题详解

1. 下列数列?an?是否收敛?如果收敛,求出它们的极限: 1) an?

1?ni;

1?mi?2) an??1??

i??; 2?n?n3) an???1??

4) an?e 5) an?

?n?i2i; n?1;

1?n?i2。 en?0,a?1???,a?1n2. 证明:lima??

1,a?1n????不存在,a?1,a?1?

3. 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性:

in1) ?;

nn?1?

in2) ?;

lnnn?2? 3) 4)

?n?0???6?5i?n8n;

cosin。 ?n2n?0

4. 下列说法是否正确?为什么?

1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛;

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2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点;

3) 每一个在z0连续的函数一定可以在z0的邻域内展开成泰勒级数。

5. 幂级数

?cn?z?2?能否在z?0收敛而在z?3发散?

nn?0?

6. 求下列幂级数的收敛半径:

zn1) ?p(p为正整数);

n?1n? 2) 3) 4) 5)

nn??1?iz; ?n?0??n?1??n!?2nnzn;

?en?1??i?nzn;

?i?n??chz?1; ???n??n?1?z?6) ???。

lnin?n?1? 7. 如果

8. 证明:如果

???n?cn?0nz的收敛半径为R,证明??Recn?zn的收敛半径?R。[提示:?Recn?zn?cnz]

nnn?0cn?1cn?1n?1n??z存在,下列三个幂级数有相同的收敛半径;;cz??nlimcn?1n??nn?1ncz?n。

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9. 设级数

?cn?0??n收敛,而

?cn?0?n发散,证明

?cn?0?nzn的收敛半径为1。

10. 如果级数

敛。

?cn?0nzn在它的收敛圆的圆周上一点z0处绝对收敛,证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收

11. 把下列各函数展开成z的幂级数,并指出它们的收敛半径: 1) 2)

3) cosz;

4) shz;

5) chz; 6) e 7) e 8) sin

12. 求下列各函数在指定点z0处的泰勒展开式,并指出它们的收敛半径: 1) 2)

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zz?1z21; 31?z1?1?z?222;

sinz2;

1。 1?zz?1,z0?1; z?1z?z?1??z?2?,z0?2;

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3) 4)

1,z0??1; z21,z0?1?i;

4?3z5) tgz;z0?

?4;

6) arctgz;z0?0。

13. 为什么在区域z?R内解析且在区间??R,R?取实数值的函数f?z?展开成z的幂级数时,展开式的

系数都是实数?

s?14. 证明在f?z??co?z??1??以z的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为z?1cn?2??2?0cos?2cos??cosn?d?,?n?0,?1,?2,??。[提示:在公式?4.4.8?中,取C为z?1,

i?在此圆上设积分变量??e

15. 下列结论是否正确?

用长除法得

。然后证明cn的积分的虚部等于零。]

z?z?z2?z3?z4?? 1?zz111?1??2?3?? z?1zzz因为

zz??0 1?zz?1111?2?3?1?z?z2?z3?z4???0 zzz所以 ??

16. 把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数: 1)

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1,1?z?2; 2?z?1??z?2? .WORD.格式.

2) 3)

1,1?z?1,0?z?1?1; 2z?1?z?1?z?1??z?2?11?z,0?z?1?1,1?z?2???;

4) e 5)

,1?z???;

1,在以i为中心的圆环域内;

z2?z?i?6) sin 7)

1,在z?1的去心邻域内; 1?z?z?1??z?2?3?,

?z?3??z?4??1??z?z?4,4?z???。

17. 函数tg??能否在圆环域0?z?R?0?R????展开成洛朗级数?为什么?

18. 如果k为满足关系k?1的实数,证明

2?knsin?n?1???n?0??sin? 21?2kcos??kcos??k

1?2kcos??k2?1?kncos?n?1???n?0i?[提示:对z?k展开?z?k?成洛朗级数,并在展开式的结果中置z?e,再令两边的实部与实部

相等,虚部与虚部相等。]

19. 如果C为正向圆周z?3,求积分

?f?z?dz的值。设f?z?为:

C1)

1;

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