对数运算和对数函数
对数的定义
①若ax?N(a?0,且a?1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x?logaN，其中a叫做底数，N叫做真数．
②负数和零没有对数。③对数式与指数式的互化：x?logaN?ax?N(a?0,a?1,N?0)。 常用对数与自然对数
常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e?2.71828…）． 对数函数及其性质
函数名称 定义 对数函数 函数y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数 a?1 0?a?1 y图象 x? 1y?logaxyx?1 y ?logax (1,0) O(1,0)xOx定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 在(0,??)上是增函数 (0,??) R 图象过定点(1,0)，即当x?1时，y?0 非奇非偶 在(0,??)上是减函数 logax?0(x?1)logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) logax?0(x?1)logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) a变化对图象的影响 类型一、对数公式的应用
在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高。 1计算下列对数
log26?log23? 2log212?21lo2g3? lg5?lg2? lg61000?
log2128?log264? log2(43?24)? (log43?log83)(log32?log92)?
2log23?2?4log23? log227?log316? log35?log390?log32?
23199? log28?log48?log832? log2a?log4b?log8c? lg?lg???lg34200 2log510?log50.25? 2log525?3log264? log2(log2(log2(log265536)))?
2 解对数的值：
751lg14?2lg?lg7?lg18 0 lg?2lg2?()?1?-1
322
?1????log32?log427+2(lg2?lg5)的值0 ?8?提示：对数公式的运算
如果a?0,a?1,M?0,N?0，那么
（1）加法：logaM?logaN?loga(MN) （2）减法：logaM?logaN?loga（3）数乘：nlogaM?logaMn(n?R) （4）a（6）换底公式：logaN?logaN13M Nn?N （5）logabMn?logaM(b?0,n?R)
b1logbN (b?0,且b?1) （7）logab?logba?1 （8）logab?logbalogba类型二、求下列函数的定义域问题 1函数f(x)?3x21?lg(3x?1)的定义域是(?,1)
31?x2?x?x??2?，则f???f??的定义域为 ??4,?1???1,4?
2?x?2??x?2设f?x??lg?x2?3x?43 函数f(x)?的定义域为（ (?1,0)?(0,1] ）
lg(x?1)提示：（1）分式函数，分母不为0，如y?1,x?0。 x（2） 二次根式函数，被开方数大于等于0，y?x,x?0。
（3）对数函数，真数大于0，y?logax,x?0。 类型三、对数函数中的单调性问题
1函数f(x)?lg(x2?4x?3)的单调递增区间为（ (??,1) ） 2函数f(x)?ln(x2?2x?15)的单调递增区间是 (5,??) 3函数y?log0.5(x2?3x?2)的递增区间是（ (??,1) ） 4已知f?x??2?log3x,x???1?,9?，则f?x?的最小值为（ -2 ） ?81?5若函数y??log2(x2?ax?a)在区间(??,1?3)上是增函数，a的取值范围。[2?23,2] 6不等式log3(2x?1)?1的解集为 (,2]
7设函数f?x??log2?4x??log2?2x?，且x满足4?17x?4x2?0，求f?x?的最大值。12.
提示：（1）在对数函数中f(x)?logax中，当a?1，f(x)在其定义域上是增函数；当1?a?0，f(x)在其定义域上是减函数。
（2）在复合函数f(x)?logag(x)中，函数的单调性复合同增异减。 类型四、对数函数中的大小比较
1已知logm4?logn4，比较m，n的大小。0?m?1?n
2已知a?log32,b?log43,c?log54，比较a,b,c的大小关系 c?b?a 3设a?log3?,b?log23,c?log32，则a,b,c的大小关系 a?b?c
124若a?b?0，0?c?1，则B （A）logac?logbc（B）logcb?logcb（C）a?b（D）c?c 5若a?1，且a?x?logax?a?y?logay，则x与y之间的大小关系是（ ）x?y?0 提示：在y?logab比较大小题型中，当a?1，?类型五、对数函数求值问题
221已知函数f(x)?lgx，若f(ab)?1，则f(a)?f(b)? 2
ccaby?0y?0?x?1?x?1；当1?a?0，?。
?1?x?0y?0?1?x?0y?02解方程(log2x)2?log2x?log29?log38?0 x?8或x?3已知a?b?1,若logab?logba?1 45ba，a?b，则a，b。 a?4,b?2 21)?4，则f(2014)的值为_____0___． 4已知函数f(x)?alog2x?blog3x?2，若f(2014提示：在对数函数求值过程中，主要用到对数公式 类型六、对数函数中的分段函数问题
x?1? x?2?2e ，1设函数f?x???，则f?f?2??的值为（ 2 ） 2logx?1 ， x?2????3