国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第1届)无答案

国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第1届)

1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数.

2. 设(x?(2x?1))?(x?(2x?1))?A,试在以下3种情况下分别求出x的实数解:

(a) A=2;(b)A=1;(c)A=2.

3. a、b、c都是实数,已知 cos x的二次方程

a cos2x + b cos x + c = 0,

试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程,使它的根与原来的方程一样.当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式.

4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c,斜边上的中线是两直角边的几何平均值. 5. 在线段AB上任意选取一点M,在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF,这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q,设这两个外接圆又交于M、N.

(a.) 求证 AF、BC相交于N点;

(b.) 求证:不论点M如何选取 直线MN 都通过一定点 S; (c.) 当M在A与B之间变动时,求线断 PQ的中点的轨迹.

6. 两个平面P、Q交于一线p,A为p上给定一点, C为Q上给定一点,并且这两点都不在直线p上.试作一等腰梯形ABCD(AB平行于CD),使得它有一个内切圆,并且顶点B、D分别落在平面P和Q上.

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