复变函数复习提纲
(一)复数的概念
1.加减法：若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? 2.乘除法：
1.复数的概念：z?x?iy，x,y是实数, x?Re?z?,y?Im?z?.i2??1. 1）若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1）模：z?x2?y2；
2）幅角：在z?0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg?z?（多值函数）；主值arg?z?是位于(??,?]中的幅角。
y之间的关系如下： xy 当x?0, argz?arctan；
xz1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?；
?i?2y?x?iy??xz1x?iyx?xy12121y?1?1?1?i222z2x2?iyx?i2y?2x?i2y?2x2y??2?2?yy1x22x。 122?2x2y2）若z1?z1ei?1,z2?z2ei?2, 则
z1z2?z1z2ei??1??2?；3.乘幂与方根
zi???z1?1e?12? z2z23）arg?z?与arctan1） 若z?z(cos??isin?)?zei?则zn?z(cosn??isinn?)?zein?。 2） 若z?z(cos??isin?)?zei?，则
nnny?y?0,arzg?arct?a?n??x 当x?0,?；
y?y?0,argz?arctan???x???2k???2k???z?z?cos?isin?nn??1n(k?0,1,2?n?1)（有n4）三角表示：z?z?cos??isin??，其中??argz；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：z?zei?，其中??argz。
个相异的值）
（三）复变函数
1．复变函数：w?f?z?，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.
1
(二) 复数的运算
2．复初等函数
1）指数函数：ez?ex?cosy?isiny?，在z平面处处可导，处处解析；且?ez???ez。
注：ez是以2?i为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3） 对数函数： Lnz?lnz?i(argz?2k?)(k?0,?1,?2?)（多值函
数）；
主值：lnz?lnz?iargz。（单值函数）
Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处1解析，且?lnz???；
zez?e?zez?e?zshz?,chz?；
22shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析，且
?shz???chz,?chz???shz。
（四）解析函数的概念
1．复变函数的导数 1）点可导：f??z0?=limf?z0??z??f?z0?；
?z?z?02）区域可导： f?z?在区域内点点可导。 2．解析函数的概念
1）点解析： f?z?在z0及其z0的邻域内可导，称f?z?在z0点解析；
注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：ab?ebLna(a?0)；zb?ebLnz(z?0)
2）区域解析： f?z?在区域内每一点解析，称f?z?在区域内解析； 3）若f(z)在z0点不解析，称z0为f?z?的奇点；
注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且?zb???bzb?1。
3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零eiz?e?izeiz?e?izsinzcosz,cosz?,tgz?,ctgz?4）三角函数：sinz? 2i2coszsinz的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；
sinz,cosz在z平面内解析，且?sinz???cosz,?cosz????sinz 注：有界性sinz?1,cosz?1不再成立；（与实函数不同）
4） 双曲函数 (这个没见考过,但记住也好)
2
（五）函数可导与解析的充要条件
1．函数可导的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在z?x?iy可导
?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?可微，且在?x,y? 处满足C?D条件：
?u?v?,?x?y?u?v?? ?y?x?u?v?i。 ?x?x（六）复变函数积分的概念与性质
1．
复变函数积分的概念：?f?z?dz?lim?f??k??zk，c是光滑
cn??k?1n 此时， 有f??z??2．函数解析的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在区域内解析
曲线。
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2．
c?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?在D内可微，且满足C?D条件：
?u?v?,?x?y?u?v??； ?y?x?u?v?i。 ?x?x复变函数积分的性质
c此时f??z??1） ?f?z?dz????1f?z?dz （c?1与c的方向相反）； 2） ?[?f?z???g?z?]dz???f?z?dz???g?z?dz,?,?是常数；
ccc注： 若u?x,y?,v?x,y?在区域D具有一阶连续偏导数，则
u?x,y?,v?x,y?在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C?R条件时，函数
f(z)?u?iv一定是可导或解析的。
3） 若曲线c由c1与c2连接而成，则?f?z?dz??f?z?dz??f?z?dz。
cc1c23．复变函数积分的一般计算法
1）化为线积分：?f?z?dz??udx?vdy?i?vdx?udy；（常用于理论
ccc证明）
3．函数可导与解析的判别方法
1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1） 2）利用充要条件 （函数以f?z??u?x,y??iv?x,y?形式给出，如第二章习题2）
3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数f?z?是以z的形式给出，如第二章习题3）
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c2）参数方法：设曲线c： z?z?t?(??t??)，其中?对应曲线c的起点，?对应曲线c的终点，则 ?f?z?dz??f[z?t?]z?(t)dt。
??（七）关于复变函数积分的重要定理与结论
1．柯西—古萨基本定理：设f?z?在单连域B内解析，c为B内任一
闭曲线，则