泰勒公式及其应用
数学与计算机科学学院 数学与应用数学 数学091班 赵菲
【摘 要】 泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。在现行教材对泰勒公式证明基础上,介绍泰勒公式的一种新的更为简单的证明方法,并归纳了其在求极限与导数、判定级数与广义积分敛散性、不等式证明、定积分证明,行列式计算与中值公式、导数的中值估计、界的估计等方面的应用。
1 预备知识
1. 1 带有Peano 型余项的泰勒公式 函数在[ a , b ] 上具有n 阶导数, 则
x ∈[ a , b ] 有
即
+
其中
1. 2 带有Lagrange 型余项的泰勒公式 若函数
在
上连续， 在与
在开区间( a , b) 内存在，则
之间，使得下式成立
其中
为Lagrange 型余项。
注：若
这里（介于与0之间）称之为Maclaurin 型余项 1. 3 常见的Maclaurin 公式
中取
1
（这里为任意实数）；
2 泰勒公式的证明
两种余项的泰勒公式所表达的根本思想就是怎样用多项式来逼近函数。公式(1) 非普通的等式,而是反映了极限性质的渐进等式,因此公式(1) 在求极限时很有用处,对余项可以提供充分小量的估计。公式(2) 的余项有确定表达式,当然也有不确定因素,即有中值,但不妨碍定理的使用,为近似计算的误差估计提供了理论依据。 证明：设
现在只需要证
有关系式（3）可知，
知 点
时，允许接连使用洛必达法则
次，得到
的某个领域
内f存在
介导函数
，于是因为
并易
存在，所以在
且
2
注：满足的条件4.泰勒公式的应用
是唯一的。
4.1在求极限的问题中，可以利用泰勒公式及皮亚诺余项计算。
例4.1 求
解 由于等价无穷小可以知道，分母为 只要把
，
展开到
即可。
故
3