考研真题十二1.微分方程xy???3y??0的通解为__________.00数一考研题2.某湖泊的水量为V,每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V/6,流入湖泊内不含A的水量为V6,流出湖泊的水量为V3.已知1999年底湖中A的含量为5m0,超过国家规定指标.为了治理污染,从2000年初起,限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过m0V.问至多需要经过多少年,湖泊中污染物A的含量降至m0以内?(设湖水中A的浓度是均匀的).00数二考研题3.设函数f(x)满足方程f??(x)?f?(x)?x,且f?(0)?0,则( ).(A)f(0)是f(x)极大值;(B)f(0)是f(x)极小值;(C)点(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点;(D)f(0)不是f(x)的极值,点(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点.00数二考研题4.函数f(x)在[0,??)上可导,f(0)?1,且满足等式f?(x)?f(x)?1xx?10f(t)dt?0,(1)求导数f?(x);(2)证明:当x?0时,不等式e?x?f(x)?1成立.00数二考研题5.设y?ex(C1sinx?C2cosx)(C1,C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为____________.01数一考研题6.过点(1,0)且满足关系式y?arcsinx?y21?x2?1的曲线方程为___.01数二考研题7.设函数f(x),g(x)满足f?(x)?g(x),g?(x)?2ex?f(x),且f(0)?0,?g(0)?2,求0[g(x)1?x?f(x)(1?x)2]dx.01数二考研题8.设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x?0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点(1/2,0).01数二考研题(1)试求曲线L的方程;(2)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围成的图形的面积最小..32.9.一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例常数K?0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内融化了其体积的7/8,问雪堆全部融化需要多少小时?01数二考研题10.微分方程yy???y?2?0满足初始条件yx?0?1,y?x?0?12的特解是____________.02数一考研题11.(1)验证函数02数一考研题y(x)?1?x33!?x66!?x99!???x3n(3n)!??(???x???)满足微分方程y???y??y?ex;?(2)(1)x3n利用的结果求幂级数?n)!的和函数.n?0(312..设y?y(x)是二阶常系数微分方程y???py??qy?e3x满足初始条件y(0)?y?(0)?0的特解,则当x?0时,函数ln(1?x2)y(x)的极限( ).(A)不存在;(B)等于1;(C)等于2;(D)等于3.02数二考研题13..求微分方程xdy?(x?2y)dx?0的一个解y?y(x),使得由曲线y?y(x)与直线x?1,x?2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小.02数二考研题14.设函数y?y(x)在(??,??)内具有二阶导数,且y'?0,x?x(y)是y?y(x)的反函数.03数一考研题(1)试将x?x(y)所满足的微分方程d2xdxdy2?(y?sinx)(dy)3?0变换为y?y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y'(0)?32的解.15.已知y?xyxxlnx是微分方程y'?x??(y)的解,则?(y)的表达式为.33.( ).03数二考研题y2(A)?y2x2x2;(B)x2;(C)?y2;(D)x2y2.16.有一平底容器,其内侧壁是由曲线x??(y)(y?0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图),容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以?m2/miny03数二考研题的速度均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体).(1)根据t时刻液面的面积,写出t与?(y)x??(y)之间的关系式;y(2)求曲线x??(y)的方程.(注:m表示长度单位米,min表示时间单位分).?2O2x17.欧拉方程x2d2ydydx2?4xdx?2y?0(x?0)的通解为______.04数一考研题18.某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?04数一、二考研题(注kg表示千克,km/h表示千米/小时).19.微分方程(y?x3)dx?2xdy?0满足y|6x?1?5的特解为______.04数二考研题20.微分方程y???y?x2?1?sinx的特解形式可设为( ).04数二考研题(A)y??ax2?bx?c?x(Asinx?Bcosx);(B)y??x(ax2?bx?c?Asinx?Bcosx);(C)y??ax2?bx?c?Asinx;(D)y??ax2?bx?c?Acosx.21.微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??19的解为_________.05数一、二考研题.34.22.用变量代换x?cost(0?t??)化简微分方程(1?x2)y???xy??y?0,并求其满足y|x?0?1,y?|x?0?2的特解.05数二考研题23.微分方程y??y(1?x)x的通解是.06数一、二考研题24.设函数f(u)在(0,?)内具有二阶导数,且z?f(x2?y2)满足关系式?2z?2z?x2??y2?006数一、二考研题(1)验证:f??(u)?f?(u)u?0;(2)若f(1)?0, f?(1)?1, 求函数f(u)的表达式. 25.函数y?C1ex?C2e?2x?xex满足一个微分方程是( ).06数二考研题(A)y???y??2y?3xex;(B)y???y??2y?3ex;(C)y???y??2y?3xex;(D)y???y??2y?3ex.26.二阶常系数非齐次线性微分方程07数一、二考研题y???4y??3y?2e2x的通解为y?____________. 27.求微分方程y??(x?y?2)?y?满足初始条件07数二考研题y(1)?y?(1)?1的特解..35.