C = (1 + εr)ε0S/2d． （2）电容器充电前的电容为C0 = ε0S/d， 充电后所带电量为 Q = C0U． 当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为
W = Q2/2C = C02U2/2C = ε0SU2/(1 + εr)d． （3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C1 = ε0S/2d；
介质中的一半的电容为 C2 = ε0εrS/2d． 设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2，则
Q1 + Q2 = Q． ① 由于C = Q/U，所以 U = Q1/C1 = Q2/C2． ② 解联立方程得 QC1Q 0U1= CC+C=
C， 121+2/C1
真空中一半电容器的自由电荷面密度为 σQ1
C0U2ε0U1= 2S/2=(1+CC= ． 2/1)S(1+εr)d
同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为
σC0U2ε0εrU 2= 2(C=
． 1/C2+1)S(1+εr)d
13．15 平行板电容器极板面积为200cm2，板间距离为1.0mm，电容器内有一块1.0mm厚的玻璃板(εr = 5)．将电容器与300V的电源相连．求： （1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？
（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？ [解答]平行板电容器的电容为
C0 = ε0εrS/d，
静电能为 W0 = C0U2/2． 玻璃板抽出之后的电容为 C = ε0S/d．
（1）保持电压不变抽出玻璃板，静电能为 W = CU2/2， 电能器能量变化为 ΔW = W - W0 = (C - C0)U2/2 = (1 - εr)ε0SU2/2d = -3.18×10-5(J)． （2）充电后所带电量为 Q = C0U， 保持电量不变抽出玻璃板，静电能为 W = Q2/2C，
电能器能量变化为 ?W=W-WC0C0U2
0=(C-1) 2
=(εεrSU2 r-1) ε02d = 1.59×10-4(J)．
13．16 设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a、b．试证明电容器能量的一半
储存在半径R=
[解答]设圆柱形电容器电荷线密度为λ，场强为 E = λ/2πε0r， 能量密度为 w = ε0E2/2， 体积元为 dV = 2πrldr， 能量元为 dW = wdV． 在半径a到R的圆柱体储存的能量为 W=?wdV=? ε0
V V 2 E2dV R
=?λ2lλ2la 4πεdr=lnR．
0r4πε0a当R = b时，能量为 Wλ2lb1=4πεln；
0a 当R=
Wλ2lλ2lb
2=4πε=ln，
08πε0a
所以W2 = W1/2，即电容器能量的一半储存
在半径R=
13．17 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为a、b，柱面之间充满介电常量为ε的电介质（忽略边缘效应）．当这两个导体带有等量异号电荷(±Q)时，求：
（1）在半径为r(a < r < b)、厚度为dr、长度为l的圆柱薄壳中任一点处，电场能量体密度是多少？整个薄壳层中总能量是多少？ （2）电介质中总能量是多少（由积分算出）？
（3）由电容器能量公式推算出圆柱形电容器的电容公式？ [解答]（1）圆柱形内柱面的电荷线密度为 λ = Q/l，
根据介质是高斯定理，可知电位移为 D = λ/2πr = Q/2πrl，
场强为 E = D/ε = Q/2πεrl， 能量密度为w = D·E/2 = DE/2 = Q2/8π2εr2l2． 薄壳的体积为dV = 2πrldr， 能量为 dW = wdV = Q2dr/4πεlr． （2）电介质中总能量为
b
W=?dW=?Q2Q2b a
4πεlrdr=4πεllna．
V（3）由公式W = Q2/2C得电容为
C=Q22πεl 2W= ln(b/a) ．
13．18 两个电容器，分别标明为200PF/500V和300PF/900V．把它们串联起来，等效电容多大？如果两端加上1000V电压，是否会被击穿？ [解答]当两个电容串联时，由公式 111C2+C=C1 C+C=
， 12C1C2 得 C= C1C2
C=120PF．
1+C2
加上U = 1000V的电压后，带电量为 Q = CU，
第一个电容器两端的电压为 U1 = Q/C1 = CU/C1 = 600(V)； 第二个电容器两端的电压为 U2 = Q/C2 = CU/C2 = 400(V)．
由此可知：第一个电容器上的电压超过它的耐压值，因此会被击穿；当第一个电容器被击穿后，两极连在一起，全部电压就加在第二个电容器上，因此第二个电容器也接着被击穿．