创意平板折叠桌最优设计模型
摘要
本文通过对平板折叠桌折叠变化的探究，得出折叠桌的重要参数，折叠桌模型的建立与求解，以及对不同形状的折叠桌的设计参数。
针对问题一：由于对折叠桌整体不容易描述，所以将整体的变化过程转化成容易描
?z?0?述的钢筋上，对钢筋的动态进行描述钢筋是以31.2cm为半径，钢筋坐标从?x?31.2499??25?y?25??z??25?位置至?x?16.6971位置，对于桌脚边缘线的描述因为空间的曲线不好描述，所以将此
??25?y?25?曲线分别投影到xoy坐标面与yoz坐标面上进行描述，最后得到参数方程为：
?x?0.061t2?1.1457t?17.9583? ?z??0.0269t2?0.0421t?32.7867，其中x?0,y?0
?y?t?针对问题二：建立坐标系，根据几何关系列出方程组，然后根据模型的稳固性好，用材最少，加工方便列出约束条件及目标函数，最后用lingo10优化出最优结果，当桌面圆的直径为80cm，高为70cm时，代入上面的模型用lingo10优化得平板的尺寸为144.9cm?80cm?3cm 钢筋位置为距离圆心58.0cm处。
针对问题三：折叠桌设计软件其计算方法与问题二大致相同，本模型以桌面形状是椭圆为例，给出其八张折叠过程中的动态过程图，给出椭圆的长轴长为60cm，短轴长为55cm，条宽固定为2.5cm，高固定为70cm，可求出重要参数矩形平板的尺寸为74.5cm?50cm?3cm ，钢筋的位置在距离椭圆中心44.7cm的位置。
关键词：折叠桌 投影 拟合 lingo10 优化
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1.问题重述
随着社会的发展，房价的升高，造型美观、节约空间、形状各异的折叠桌随处可见。现已知一折叠桌桌面呈圆形，桌腿木条分成两组分别用2根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿最外侧的两根木条上，沿木条有空槽保证可以滑动，桌腿随着铰链的活动可以平摊为一张长方形平板。
现已知一长方形平板的尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽为2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。要求建立数学模型描述此折叠桌的动态变化过程，并给出此折叠桌的设计加工参数和对桌脚边缘线进行数学描述。
另外，对于任意给定折叠桌的高度和圆形桌面的直径，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数（平板尺寸、钢筋位置、开槽长度）。要求做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。并对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的具体情形，确定最优设计加工参数。
最后，为了满足更多类型人群的需要，要求通过建立数学模型，设计出一款软件，使得可以按客户需求任意设定折叠桌的高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数。在此基础上给出几个自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。
2.问题分析
2.1问题一的分析
由于连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，并且在折叠过程中，钢筋在空间中只做平行移动，不会发生旋转，所以，我们可以在建立适当空间直角坐标系的基础上，用钢筋所在直线的运动轨迹来描述折叠桌的动态变化过程。
图1：桌子锯齿形边界尖点的连线
另外，通过对所给示例图的观察，我们可以假设桌子锯齿形边界尖点的连线为圆形，如图1中红线所示。进一步根据平板的宽度合理假设出中间长条形桌腿对应圆桌部分的长度，然后利用平面几何知识，可以求出对应每一条桌腿的圆桌部分的长度，由此确定折叠桌边缘一系列折点的坐标。对于每根桌腿木条开槽长度的确定，首先，在平板形状时，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，钢筋与内侧每根桌腿木条的交点即为靠近圆桌方向的一个开槽端点，它们与相应折点的距离很容易得到；当折叠桌形成以后，钢筋与内侧桌腿的交点即为远离圆桌方向的一个开槽端点，并且由于它们
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都位于钢筋所在的直线上，容易求取每个点的坐标，然后，由两点间的距离公式求出它们与相应折点的距离；以上两个距离相减可得每根木条的开槽长度。
折叠桌成形以后，在已知每根桌腿的折点和开槽远端点的基础上，可以求出每根桌腿所在直线的方程，然后结合桌腿的长度可以求出桌脚点的坐标，将这些点分别投影到两个坐标面上，利用MATLAB拟合出投影点在相应平面上的曲线方程，最后，合成桌脚边缘线的空间直线方程。 2.2问题二的分析
题中要求我们对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径得出长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数。对于平板材料可以用第一问中的材料和木条宽度。而最优加工参数的求解我们需要建立模型找出体现稳固性好、加工方便、用材最少的目标函数和约束条件然后用lingo10求其最优解。然后再对题中具体的数据：桌高70cm.桌面直径80cm.的情形代入模型求其对应的最优加工参数。 2.3问题三的分析
对于问题三：我们根据客户折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状我们就可以求出所任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数,使得生产的折叠尽可能满足客户需求。即我们要建立模型：客户给出需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数。
3.问题假设
(1)钢筋不会变形；
(2)长方形的宽度是圆的直径; (3)平铺时木条之间没有间隙; (4)题中将木条宽度默认为2.5cm; (5)桌面的厚度默认为3cm。
4.符号说明
li(cm)：第i根桌腿的长度； (xi,yi,0):第i根桌腿折叠点坐标；
di1(cm)：第i根桌腿开槽内端点与对应折叠点间的距离; di2(cm): 第i根桌腿开槽外端点与对应折叠点间的距离;
5.模型的建立与求解
5.1 空间直角坐标的建立
为了方便描述，我们忽略长方形平板的厚度，把它看成一个平面，以平板的中心为原点，长边方向为x轴，短边方向为y轴，垂直平板向上方向为z轴正方向，其中xoy坐标面具体情况如图2所示。并且假设桌子锯齿形边界尖点的连线为圆形。[1]
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x o 钢筋 y 图2：xoy坐标面
5.2 问题一
5.2.1折叠桌的设计加工参数
给定长方形平板的尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽为2.5cm，则一共有20根桌腿木条，根据圆桌的对称性，以下建模过程中我们可以只讨论x?0,y?0部分10根桌腿木条的数据，则其他三个部分的数据对应可得。 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 o y 图3：桌腿从里向外依次编号
首先，如图3所示，我们将这10条桌腿从里向外依次编号为第i根(i?1,2,,10)，且以每根桌腿外侧边缘线上的数据来计算这根木条的设计加工参数。由于桌面呈圆形，且平板宽度为50cm，所以我们不妨设第1根桌腿对应锯齿形边界尖点（桌腿折叠点）的坐标为(25,2.5,0)，由此可得圆桌半径r?(25)2?(2.5)2cm，设第i根桌腿对应锯齿形边界尖点的坐标为(xi,yi,0)，则xi?r2?(2.5i)2,yi?2.5i，第i根桌腿的长度li可由公式
60?xi求出。
由于连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧(第10根)木条的中心位置，平板形状时钢筋与每根桌腿的交点即为开槽的内端点，它们与对应折叠点间的距离di1可以由公式
l10?x?31.2li?得出。此时，钢筋所在空间直线的一般式方程为?。
2z?0?
4
x y
A l10?57.5 h?50
图4：折叠桌成形后桌腿的平面
折叠桌成形以后，每一对桌腿所在的平面应该都垂直于y轴（如图4所示），并依次相差一个木条的宽度2.5cm。其中蓝色梯形上的A点是此时钢筋与最外侧第10条桌腿的交点，它位于桌腿的中心位置。由于我们把平板的3cm厚度忽略不计，所以此时折叠桌的高度应该由h?53cm变为h?50cm，由几何知识易得A点坐标为(16.7,25,?25)。此时，
?x?16.7钢筋所在的直线仍然平行于y轴，一般式方程为?，它与第i根桌腿的交点即为
?z??25开槽的外端点。结合两点间的距离公式可以求出第i根桌腿开槽外端点与对应折叠点间的距离di2(cm)，则(di2?di1)(cm)即为第i根桌腿的开槽长度。[2]
以上数据见表1所示（保留小数点后一位）。
表1 折叠桌的设计加工参数 li(cm)：第i根桌腿的长度； (xi,yi,0):第i根桌腿折叠点坐标； di1(cm)：第i根桌腿开槽内端点与对应折叠点间的距离; di2(cm): 第i根桌腿开槽外端点与对应折叠点间的距离; (di2?di1)(cm)：第i根桌腿开槽长度 第i根桌腿 (xi,yi,0) 1 (25,2.5,0) 2 (24.6,5,0) 3 (24,7.5,0) 4 (23,10,0) 5 (21.8,12.5,0) li(cm) 开槽外端点坐标 di2(cm) 35 35.4 36 37 38.2 (16.7,2.5,?25)(16.7,5,?25) (16.7,7.5,?25)(16.7,10,?25) (16.7,12.5,?25) 26.3 26.2 26.2 25.8 25.5 6.3 20 6 (20.1,15,0) 39.9 (16.7,15,?25) 25.2 11.2 14 6.7 19.5 7 (18,17.5,0) 7.3 18.9 8 (15.2,20,0) 8.3 17.5 9 (11.2,22.5,0) 9.5 16 10 (2.5,25,0) di1(cm) di2?di1 第i根桌腿 (xi,yi,0) li(cm) 开槽外端点坐标 di2(cm) 42 44.8 (16.7,17.5,?25)(16.7,20,?25) 25.0 13.3 11.7 25.0 16.1 8.9 48.8 57.5 (16.7,22.5,?25)(16.7,25,?25) 25.6 20.1 5.5 28.8 28.8 0 di1(cm) di2?di1 5