山东大学《数学分析III》期末复习参考题
题 号 得 分 一 二 三 四 总 分
一、填空题（共 10 小题，40 分）
1、函数f(x,y)?x?y?2、若f(x,y)?e3、函数f(x,y,z)=
?x?x2?y2在点（3，4）沿a???4,3?方向的方向导数是——。
cos(y?x2)，则fx (x,x2)= ———。
在点(1，－1，1)处的梯度等于__________.
4、设C为平面上从点A(x1,y1)到点B(x2,y2)的有向曲线弧，函数f(x)是连续函数，则
5、设函数z?z(x,y)由方程
?zxz?lncos所确定，则= ———。
?xzy6、设T为曲线x=acost，y=asint，z=at，0≤t≤2π，其中a为正的常数，则
?2ux7、设u?2，则= ———。
y?x?yx2?y28、函数z?的间断点为???????。
xy?sin(xy)9、设f(y,z)与g(y)都是可微函数，则曲线x?f(y,z),z?g(y)在点(x0,y0,z0)处的切线方程是______。
?2u10、设u?x?y?4xy，则2= ———。
?x4422二、选择题（共 5 小题，20 分）
1、曲线弧
上的曲线积分和
上的曲线积分有关系( )
2、设u?f(r),而r?x2?y2?z2，f(r)具有二阶连续导数，则
?2u?2u?2u?2?2=( ) 2?x?y?z(A)f(r)?\1'f(r) r(B)f(r)?\2'f(r) r(C)
1\1'1\2'f(r)?f(r)f(r)?f(r) (D)
rrr2r23、若曲线??xy?yz?zx??1在点(1,2,?1)处的一个切向量与oz轴正方向成锐角，则
?x?y?z?231（C）
14143 14此切向量与ox轴正方向所夹角的余弦为( )
（A）?1 14
??2（B）?（D）
4、广义积分? 1xe?xdx?（）
(C) e (D) ??
1?1 (A) (B) 2e2e5、曲面xcosz?ycosx?（A）x?z???1 （C）x?y???????z?在点?,1?,0?处的切平面方程为( )
?2222?（B）x?y???1 （D）x?z?? 2
? 2三、计算题（共 3小题，30 分）
1、设z?z(x,y)由方程z?x?y?(z)所确定，其中?二阶可导，且1?y??(z)?0，
?2z求2。 ?x2、设f(x,y)?????2??。 f,，求sintdtxx??x?y??44?x?y3、利用递推公式计算广义积分In????0xne?xdx（n为自然数）
四、证明题（10 分）
设函数u?F(x,y,z)在条件?(x,y,z)?0下有极值为u0?F(x0,y0,z0)，其中函数
F及?具有一阶连续偏导数且不全为零。试证明曲面u?F(x,y,z)与曲面?(x,y,z)?0在点?x0,y0,z0?处有相同的切平面（即两曲面相切）。
《数学分析III》期末试卷14答案与评分标准
一、填空题（共 10 小题，40 分）
1、?15 2、?e?x
3、e9?2i?6j?12k? 4、
5、
zy
xy?z2tanzy6、22?2 7、?2y3
8、x轴及y轴上的所有点。 9、
x?x0f?y?yz?z00?y(y0,z0)?fz(y0,z0)g?(y0)g?(y0)10、12x2?8y2
二、选择题（共 5 小题，20 分）
BBBAD
三、计算题（共 3 小题，30 分）
1、解：
?z?x?11?y??(z) （4分）
?2zy???(z)zxy???(z)?x2??1?y??(z)?2??1?y??(z)?3 （10分） 2、解：
fx?sin(x?y)2?sin(x?y)2
4分）
（