13.16 设圆柱形电容器的内、外圆筒半径分别为a、b．试证明电容器能量的一半储存在半径R?ab的圆柱体内． 解：设圆柱形电容器电荷线密度为λ，场强为E = λ/2πε0r，能量密度为w = ε0E2/2，体积元为dV = 2πrldr，能量元为dW = wdV．在半径a到R的圆柱体储存的能量为 W??wdV??V?0V?2l?2lRdr?ln． EdV??4??r4??a200a2R2?lb当R = b时，能量为W1?ln； 4??0a22?lb?lb当R?ab时，能量为W2?ln?ln， 4??0a8??0a所以W2 = W1/2，即电容器能量的一半储存在半径R?ab的圆柱体内． 13.17 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为a、b，柱面之间充满介电常量为ε的电介质（忽略边缘效应）．当这两个导体带有等量异号电荷(±Q)时，求： （1）在半径为r(a < r < b)、厚度为dr、长度为l的圆柱薄壳中任一点处，电场能量体密度是多少？整个薄壳层中总能量是多少？ （2）电介质中总能量是多少（由积分算出）？ （3）由电容器能量公式推算出圆柱形电容器的电容公式？ 解：（1）圆柱形内柱面的电荷线密度为 λ = Q/l， 根据介质是高斯定理，可知电位移为 D = λ/2πr = Q/2πrl，场强为E = D/ε = Q/2πεrl，能量密度为w = D·E/2 = DE/2 = Q2/8π2εr2l2．薄壳的体积为dV = 2πrldr，能量为dW = wdV = Q2dr/4πεlr． Q2Q2b（2）电介质中总能量为W??dW??dr?ln． V4??lr4??laaQ22??l（3）由公式W = Q/2C得电容为C?． ?2Wln(b/a)2b 13.18 两个电容器，分别标明为200PF/500V和300PF/900V．把它们串联起来，等效电容多大？如果两端加上1000V电压，是否会被击穿？ 解：当两个电容串联时，由公式 111C2?C1CC 得 C?12?120PF． ???CC1C2C1C2C1?C2加上U = 1000V的电压后，带电量为Q = CU， 第一个电容器两端的电压为U1 = Q/C1 = CU/C1 = 600(V)； 第二个电容器两端的电压为U2 = Q/C2 = CU/C2 = 400(V)． 由此可知：第一个电容器上的电压超过它的耐压值，因此会被击穿；当第一个电容器被击穿后，两极连在一起，全部电压就加在第二个电容器上，因此第二个电容器也接着被击穿．