1x?1时，收敛于1?x1?x?x2?x3???xn?? x?1时，发散对于级数(3)a0?a1x ?a2x2???anxn??，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x?R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x?R时发散，其中R称为收敛半径。x?R时不定1
??0时，R?求收敛半径的方法：设liman?1??，其中an，an?1是(3)的系数，则??0时，R???n??an????时，R?0?一些函数展开成幂级数：
m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nx???x?? (?1?x?1)2!n! 352n?1xxxsinx?x?????(?1)n?1?? (???x???)3!5!(2n?1)!(1?x)m?1?mx?欧拉公式：
?eix?e?ixcosx???2ix e?cosx?isinx 或?ix?ix?sinx?e?e?2?微
分
方
程
的
相
关
概
念
一阶微分方程：y??f(x,y) 或 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：?g(y)dy??f(x)dx 得：G(y)?齐次方程：一阶微分方程可以写成F(x)?C称为隐式通解。dyy?f(x,y)??(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u?，则?u?x，u???(u)，??分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx?(u)?ux即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
dy1、一阶线性微分方程：?P(x)y?Q(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时,为齐次方程，y?Ce?当Q(x)?0时，为非齐次方程，y?(?Q(x)e?dy2、贝努力方程：?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)dx全微分方程：
P(x)dxdx?C)e??P(x)dx
如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程，即：?u?udu(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，其中：?P(x,y)，?Q(x,y)
?x?y?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：
f(x)?0时为齐次d2ydy ?P(x)?Q(x)y?f(x)，dxdx2f(x)?0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)y???py??qy?0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(?)r2?pr?q?0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y??,y?,y的系数；2、求出(?)式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解： r1，r2的形式 两个不相等实根(p?4q?0) 两个相等实根(p?4q?0) 一对共轭复根(p?4q?0) 222(*)式的通解 y?c1er1x?c2er2x y?(c1?c2x)er1x y?e?x(c1cos?x?c2sin?x) r1???i?，r2???i?4q?p2 p???，??22二阶常系数非齐次线性微分方程
y???py??qy?f(x)，p,q为常数f(x)?e?xPm(x)型，?为常数；f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型线性代数公式大全——最新修订
1、行列式
1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质：
①、Aij和aij的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mij?(?1)i?jAij4. 设n行列式D：
将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1?(?1)on(n?1)2Aij?(?1)i?jMij
D； D；
将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2?(?1)将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4?D； 5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)n(n?1)2n(n?1)2将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3?D；
；
③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积； ④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)⑤、拉普拉斯展开式：
AOCB?ACOBn(n?1)2；
CABO?OABC?(?1)mgnAB
?AB、
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；
6. 对于n阶行列式A，恒有：?E?A????(?1)kSk?n?k，其中Sk为k阶主子式；
nk?1n7. 证明A?0的方法：
①、A??A； ②、反证法；
③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)?n； ⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
1.
A是n阶可逆矩阵：
?A?0（是非奇异矩阵）； ?r(A)?n（是满秩矩阵）
?A的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组Ax?0有非零解；
??b?Rn，Ax?b总有唯一解；
?A和E等价；
?A可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A的特征值全不为0； ?ATA是正定矩阵；
?A的行（列）向量组是Rn的一组基； ?A是Rn中某两组基的过渡矩阵；
2. 对于n阶矩阵A：AA*?A*A?AE 无条件恒成立； 3.
(A?1)*?(A*)?1(AB)T?BTAT(A?1)T?(AT)?1(AB)*?B*A*(A*)T?(AT)* (AB)?1?B?1A?1
4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：
?A1?若A?????A2O???，则： ??As?Ⅰ、A?A1A2LAs；
?A1?1??1Ⅱ、A???????1?1A2O???； ??As?1???A?1?AO?②、?????OB??O?O?OA??③、???1??BO??A?A?1?AC?④、?????OB??O?1?1?1O??；（主对角分块） B?1?B?1??；（副对角分块） O??A?1CB?1??；（拉普拉斯） B?1?O??；（拉普拉斯） B?1??A?1?AO?⑤、?????1?1?CB???BCA3、矩阵的初等变换和线性方程组
1. 一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F???Er?OO??； O?m?n等价类：所有和A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)?r(B)?????A:B； 2. 行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3. 初等行变换的使用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
①、若(A?,?E)?:?(E?,?X)，则A可逆，且X?A?1；
②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A?1B，即：(A,B)???(E,A?1B)；
③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax?b，如果(A,b):(E,x)，则A可逆，且x?A?1b； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
??1?②、??????rrc?2O???，左乘矩阵A，?乘A的各行元素；右乘，?乘A的各列元素；
ii???n??1?1??1?????③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)?1?E(i,j)，例如：?1???1?；
??1?1??????1?1?1??11???1④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))?E(i())，例如：?k????kk??1?????1???(k?0)； ?1??k??k??1?1????⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))?1?E(ij(?k))，如：?1???1?(k?0)；
??1?1?????5. 矩阵秩的基本性质：
①、0?r(Am?n)?min(m,n)；
②、r(AT)?r(A)；
③、若A:B，则r(A)?r(B)；
④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；（※） ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)；（※） ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))；（※）
⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB?0，则：（※）
Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解（转置运算后的结论）； Ⅱ、r(A)?r(B)?n
⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)?r(A)?r(B)?n；
6. 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
?1ac???②、型如?01b?的矩阵：利用二项展开式；
?001???