动点问题专项训练
1.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D． （1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
【答案】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°。
∵∠BQD=30°，∴∠QCP=90°。
设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+C=6+x。 ∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=∴当∠BQD=30°时，AP=2。
（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF。 ∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°。 ∵点P、Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ。 ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°。 ∴在△APE和△BQF中，
∵∠A=∠FBQ，AP=BQ，∠AEP=∠BFQ=90°，∴△APE≌△BQF（AAS）。 ∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF。∴四边形PEQF是平行四边形。 ∴DE=
11QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2。 221EF。 21AB。 2∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=
又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3。
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。
2. 如图，已知一次函数y1?kx?b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2?的图象相交于B（－1，5）、C（（1）求k、b的值； （2）设?1?m?c x5，d）两点．点P（m，n）是一次函数y1?kx?b的图象上的动点． 23c，过点P作x轴的平行线与函数y2?的图象相交于点D．试问△PAD的面积是 2x否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设m?1?a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值
范围．
【答案】解：（
1）将点B 的坐标代入yc2?x，得5?c?1 ，解得c=?5。 ∴反比例函数解析式为y52??x。
将点C（52，d）的坐标代入y5552??x，得d??5=?2。∴C（2，－2）。
2∵一次函数y?kx?b的图象经过B（－1，5）、C（512，－2）两点，
?5??k?b∴?????2?52k?b，解得??k=?2。 ?b=32）存在。
令y1?0，即?2x?3?0，解得x?32。∴A（32，0）。
由题意，点P（m，n）是一次函数y3的图象上的动点，且?1?m?31??2x?2∴点P在线段AB 上运动（不含A、B）。设P（
3?n2，n）。 ∵DP∥x轴，且点D在y52??x的图象上， ∴y55D?yP?n，xD=?n，即D（?n，n）。
2∴△PAD的面积为S?11?3?n2PD?OP=2???2+5?n???n=?1?4??n?3?2??+4916。 ∴S关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值。
又∵n=?2m?3，?1?m?32，得0?n?5，而0?n=32?5。 ∴当n=3332时，即P（4， 2）时，△PAD的面积S最大，为
4916。 3）由已知，P（1?a, 2a+1）。
易知m≠n，即1?a?2a+1，即a?0。 若a>0，则m<1 （ （ 由题设，m>0，n?2，解出不等式组的解为0 1。 2 由题设，n?0，m<2，解出不等式组的解为??a<0。 综上所述，数a的取值范围为??a<0，0 【分析】（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，由B 的坐标求得c=?5，从而得到y2??55；由点C在y2??上xx求得d??2，即得点C的坐标；由点B、C在y1?kx?b上，得方程组，解出即可求得k、b的值。 （2）求出△PAD的面积S关于n的二次函数（也可求出关于m），应用二次函数的最值原理即可求得面积的最大值及此时点P的坐标。 （3）由m≠n得到a?0。分a>0和a<0两种情况求解。 3.如图，已知双曲线y?k，经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥yx轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC． （1）求k的值； （2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式； （3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 【答案】解：（1）∵双曲线y? kk经过点D（6，1），∴?1，解得k=6。 x61×6?h=12，解得h=4。 2（2）设点C到BD的距离为h， ∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，∴BD=6，∴S△BCD= ∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，∴点C的纵坐标为1－4= －3。 ∴ 6?3，解得x= －2。∴点C的坐标为（－2，－3）。 x设直线CD的解析式为y=kx＋b，